@JL
Références de cours :
http://jacques.lavau.perso.sfr.fr/SYNTAXV1_.htm
jacques.lavau.perso.sfr.fr/SYNTAXV1_.htm
http://jacques.lavau.perso.sfr.fr/SYNTAXE2_.htm
jacques.lavau.perso.sfr.fr/SYNTAXE2_.htm
ou leurs correspondants avec l’extension pdf au lieu de htm
Résumé sur le wiki : deontologic.org/geom_syntax_gyr

La mission du formalisme mathématique est d’être un descripteur fidèle et valide de la situation physique.
Reprenons l’exemple de la rotation uniforme d’un solide.
Sa vitesse angulaire de rotation est un opérateur qui a une direction de plan stable, un sens de rotation dans ce plan, et une valeur en cycles par seconde ou en radians par seconde. En notation LaTeX on le notera \breve\omega. Il n’y a malheureusement pas d’interpréteur LaTeX sur Agoravox.
Cet opérateur permet de relier le rayon vecteur depuis l’axe de rotation du solide à un point donné du solide, à la vitesse linéaire instantanée de ce point, puis ce vecteur vitesse instantanée à l’accélération instantanée.

Au bout de ces deux quarts de tour, on a fait un demi-tour : l’accélération est colinéaire au rayon vecteur, mais de sens opposé : \vec \gamma = - \omega^2 . \vec R

Si on a chois une base sur un repère, on peut exprimer ces trois vecteurs et ce gyreur en coordonnées sur cette base. On se simplifie la vie en choisissant la direction de plan stable de la rotation comme plan des deux premières directions de droites du repère, et la troisième coordonnée ne joue plus aucun rôle, peut être omise. On traite en plan un problème plan, et pour se simplifier la vie on prend une base orthonormale sur ce plan.

A l’instant origine bien choisi, le vecteur \vec R a pour coordonnées
R
0
où R est est une longueur physique soit des mètres multipliés par un nombre.

La vitesse linéaire instantanée a pour coordonnées à cet instant :
0
\omega . R

Et l’accélération a pour coordonnées :
- \omega ^2 . R
0

Le gyreur \breve\omega a pour coordonnées  : \omega (nombre multiplié par unité physique) multiplié par la matrice carrée
0 -1
1 0

Rajoute une troisième ligne de zéros et une troisième colonne de zéros pour l’écrire en dimension 3.

Cet interpréteur de texte ne va pas autoriser à écrire lisiblement la multiplication matricielle des coordonnées, mais tu trouves tout cela sur le support de cours.

Tout au long de la rotation, les coordonnées des vecteurs vont évoluer en sin (\omega . t) et cos (\omega . t) ; mais celles du gyreur ne changent pas, en rotation uniforme.

Pour toutes les situations physiques, tu mettras la signification, la sémantique en premier : On décrit quoi ?

Par exemple le gyreur champ magnétique B transforme un vecteur q.v ou i.dl (charge déplacée en unité de temps) en un vecteur force qui lui est perpendiculaire. Il a donc bien une unité physique, et des coordonnées de gyreur, antisymétriques.
En géométrie plane, un gyreur n’a qu’une seule coordonnée libre non nulle sur les quatre. En géométrie 3 D, un gyreur a trois coordonnées libres non nulles sur les neuf.
Dans l’espace-temps de Minkowski, cela fait six coordonnées libres non nulles sur les seize.
Confondre un gyreur avec un vrai vecteur, cette grosse blague n’est possible, avec un maximum de balourdises et de fautes professionnelles dans la besace, qu’en dimension 3, et dans aucun des autres cas.
Oui, trois égale trois, mais un n’égale pas deux, six n’égale pas quatre, etc.