@HClAtom

Je vais démontrer qu’il est possible d’accélérer un satellite sur son orbite. Je me limiterai au cas d’une orbite circulaire. Pour qu’on ne m’accuse pas d’utiliser les modules et non les vecteurs, je reprends tout au départ des équations de Newton.

Soient r1, m1, r2 m2 les rayons vecteurs et les masses du satellite et de la terre dans un repère d’inertie à deux dimensions situé dans le plan de l’orbite. On utilisera des lettres en caractères gras pour représenter les vecteurs, et les mêmes lettres en caractères normaux pour représenter leur module.
Soit r = r1 - r2 le vecteur allant du centre de masse de la terre à celui du satellite et R = (m1 r1 + m2 r2) / M le rayon vecteur allant de l’origine du repère au centre de masse du système terre-satellite, M étant la masse totale m1 + m2.

Le satellite est muni de deux propulseurs, l’un agissant dans la direction du vecteur r mais dans la direction opposée et avec une force F, l’autre agissant dans le sens et la direction du vecteur vitesse avec une force f. Les forces F et f sont supposées ajustables dans le temps.

Les équations de Newton pour le satellite et la terre s’écrivent (en utilisant l’apostrophe pour désigner les dérivées par rapport au temps) :

m1 r1’’ = - m1 m2 G r/r^3 - F r/r + f r’/r’ (1)
m2 r2’’ = m1 m2 G r/r^3 (2)

Divisons (1) par m1 et (2) par m2 et prenons la différence des résultats :

r’’ = - M G r/r^3 - F/m1 r/r + f/m1 r’/r’ (3)

Prenons la somme de (1) et (2) :

M R’’ = - F r/r + f r’/r’ (4)

(4) est l’équation de la trajectoire du centre de masse du système. Si F = f = 0, le centre de masse a une accélération nulle et se déplace donc sur une ligne droite à une vitesse constante. Si F et f ne sont pas nulles, le centre de masse subit une accélération. Il est important de noter que dans ce cas, les équations de Newton ne seraient plus valables dans un repère lié à ce centre de masse. Essayer d’écrire les équations de Newton dans un tel repère conduirait à des résultats faux.

Si F = f = 0, (3) se réduit à l’équation normale d’une orbite, dont la solution est une conique. Nous allons retenir uniquement le cas particulier d’une orbite circulaire. En coordonnées polaires, r = r[cos(a), sin(a)] où a est l’angle que fait r avec l’axe des x.

On dérive r par rapport au temps pour obtenir la vitesse :

r’ = r’[cos(a), sin(a)] + r a’[-sin(a), cos(a)] = r a’[-sin(a), cos(a)] (5) puisque le module du rayon vecteur est constant sur une trajectoire circulaire.

On dérive une seconde fois pour obtenir l’accélération :

r’’ = r a’’[-sin(a), cos(a)] - r a’^2[cos(a), sin(a)] (6)

Sur une trajectoire circulaire, la vitesse angulaire a’ est constante, donc a = wt où w est la vitesse angulaire. L’équation (3) sans les propulseurs devient donc :

- r w^2[cos(wt), sin(wt)] = - M G r[cos(wt), sin(wt)]/r^3 ou w^2 = M G/r^3.

Cette dernière relation peut se réécrire en introduisant la vitesse scalaire v = w r :
 m1 v^2 / r = m1 M G / r^2, qui indique simplement que la force centripète équilibre la force d’attraction.
Dans le cas de notre système où m2 >> m1, cela se réduit à m1 v^2 = m1 m2 G / r.
 
Revenons à notre problème : est-il possible de trouver des forces F et f variables dans le temps telles que, si l’orbite est circulaire avant l’allumage des propulseurs, la vitesse scalaire du satellite puisse augmenter sans que le rayon de l’orbite ne change ?

L’orbite est toujours décrite par

r = r[cos(a), sin(a)] avec r constant

r’ = r a’[-sin(a), cos(a)]

r’’ = r a’’[-sin(a), cos(a)] - r a’^2[cos(a), sin(a)]

mais maintenant, a’’ n’est plus null.

Le produit scalaire de (3) par r donne successivement

(r.r’’) = - M G (r.r)/r^3 - F/m1 (r.r)/r + f/m1 (r.r’)/r’

- r^2 a’^2 = - M G / r - F/m1 r

F = m1 (r a’^2 - M G/r^2)

De la même manière, le produit de (3) par r’ donne successivement

(r’.r’’) = - M G (r’.r)/r^3 - F/m1 (r’.r)/r + f/m1 (r’.r’)/r’

r^2 a’ a’’ = f/m1 r’ = f/m1 r a’

f = m1 r a’’

Et voilà le travail. Je viens de montrer qu’on peut trouver des poussées F et f variables dans le temps telles que le satellite reste sur son orbite circulaire mais la parcoure avec une vitesse croissante.

Si on souhaite une augmentation linéaire de la vitesse angulaire dans le temps, alors a = (w + qt)t avec q arbitraire.

On a donc

F(t) = m1 [r (w + 2 qt)^2 - M G/r^2]

f(t) = 2 m1 r q (constante)

Je ne sais pas comment vous déduisez une violation du principe d’équivalence du « fait » qu’on ne peut accélérer un satellite sur son orbite.

Ce que je sais, c’est qu’on peut accélérer un satellite sur son orbite puisque je parviens à calculer les poussées des deux propulseurs nécessaires pour atteindre ce but.
Si vous trouvez de fautes dans mon raisonnement, n’hésitez pas à les signaler, ça fait quand même plus de 40 ans que je n’ai plus touché à la mécanique céleste !