Merci pour vos commentaires toujours intéressants.
Exactement ce qu’il ne faut pas faire : « engeuler » un élève qui ne comprend pas ou qui se pose des questions. Bien souvent, c’est l’élève qui a raison compte tenu de ce qu’il sait et de ce qu’il ressent. Il n’y a aucune raison d’avoir 2+2 = 4, et si l’on reste bloqué devant cette affirmation, ce sera un peu court (et destructeur) de dire que « c’est évident », ou de répondre « tu verras plus tard ».
En mathématiques, TOUT se démontre, et il n’y a rien d’évident. Une « évidence » n’en est une que compte tenu de ses connaissances antérieures et de son habitude à l’exercer en un endroit particulier.
Personnellement, j’ai adoré le moment où, élève en terminale C, on a travaillé sur des ensembles de nombres où l’on avait justement 2+2 = 0. Dans l’anneau de congruences Z/4Z, c’est le cas, et l’on comprend bien qu’une expression « c’est vrai comme 2+2 = 4 » est foncièrement fausse car dépend de l’espace dans lequel on se place.
De plus, même si l’on se place dans l’ensemble N des entiers naturels, dire oralement 2+2 = 4, ou l’écrire, utilise des conventions qui n’ont rien à voir avec les mathématiques. Par exemple le chiffre « 4 » aurait pu s’écrire avec un autre symbole, un dessin de petit oiseau par exemple, et le résultat aurait été plus bucolique tout en étant encore foncièrement vrai !
Dans le lycée 2012-13, on ne parle plus des anneaux Z/nZ, des classes d’équivalences, de la construction des nombres, des propriétés fondamentales de N. On ne sait pas plus quelle est la définition d’un ensemble fini, on n’étudie plus les ensembles ni les dénombrements (on utilise beaucoup des arbres de choix par contre). Les bases de la logique ne sont plus étudiées, les définitions sont mal assurées.
Ah ! Moi j’ai accroché vraiment aux maths quand, parti d’une présentation simple mais efficace des nombres entiers, mon professeur de terminale nous a montré comment on démontrait rigoureusement le principe de récurrence. Moment inoubliable qui m’a prouvé en quelques minutes la force du raisonnement et l’importance de posséder un cadre précis dans lequel le développer. On venait de me persuader magistralement qu’énoncer des définitions rigoureuses permettait de construire des raisonnements rigoureux dont on pouvait vérifier l’exactitude.
Je ne pensais pas que l’on pouvait démontrer ainsi ce « pont » entre le fini et l’infini. Vérifier qu’une propriété P(n) est vraie quel que soit l’entier naturel n en seulement deux étapes, avouez qu’il fallait le faire !
