Les Français étaient bons en maths

Rectification : La chèvre, c’était un problème discuté en l’air par le prof de math en TE et que nous n’étions, en principe, pas en mesure de résoudre. (Je n’ai pas eu l’occasion d’aborder de problème en post bac)
Voilà donc ce qu’un bac de 1970 n’était pas capable de résoudre.

@sloop
Lisez bien l’énoncé :
On plante un piquet sur un point de sa circonférence.
C’est donc un problème de lunules et non de cercles concentriques

Là encore, je suis déçu.

Je croyais que j’allais voir les matheux se bousculer pour indiquer les pistes voire les solutions mais il n’en est rien.
A part Abou qui se dévoue encore une fois pour dire que c’est un problème de surface de lunule, il n’y a personne pour s’y coller et nous sortir de l’angoisse.
 

Sloop,
Je vous remercie et vous félicite pour votre volontarisme, mais vous vous trompez de manière classique (comme beaucoup je veux dire)
S’ ne fait pas la moitié de S
Vous auriez eu raison si la zone broutée formait un cercle inscrit dans le cercle du pré. Or le piquet est planté sur le bord du pré et les deux cercles se chevauchent.
Abou a bien repéré votre méprise

Je suis incapable de vous offrir la soluce mais voyez-vous tout de même votre erreur ?


Bon, alors, il n’y a personne pour aller un peu plus loin dans la résolution ?
Ça ne doit tout de même pas être si sorcier que ça de faire un calcul intégral avec deux cercles comme limites, si ?

Abou, en tant qu’agrégé, vous ne pouvez vraiment pas aller un peu plus loin ou nous montrer au moins où se trouve la difficulté pour un élève de terminale ?

Ça ne doit tout de même pas être si sorcier que ça de faire un calcul intégral avec deux cercles comme limites, si ?
Obtenir une solution approchée à epsilon près par un algorithme adéquat impliquant effectivement un calcul d’intégrale n’est pas compliqué. Mais ce forum n’autorise pas la saisie de formules mathématiques au format LaTex ou MathML de sorte que c’est une vraie galère que d’écrire deux lignes de calcul. La prouesse n’est pas de faire le calcul mais de l’écrire ici. Ce qui ne signifie pas qu’il n’existe pas une solution plus élegante donnant une formule ’exacte’ sous forme d’une expression analytique mais je ne la connais pas.

Abou, en tant qu’agrégé, vous ne pouvez vraiment pas aller un peu plus loin ou nous montrer au moins où se trouve la difficulté pour un élève de terminale ?
Je pense comme l’auteur que vous connaissez la solution et que vous testez les prétendus matheux dont je fais partie. Je pense comme l’auteur que ce n’est pas le lieu ici il y a plein de forums de maths sur le web et en outre on ne peut ici ni faire un dessin, ni écrire une formule.
En tout cas, comme j’avais quelques instants ce soir je me suis penché sur votre cas.
Voici quelques conclusions.
Si vous faites un dessin vous verrez immédiatement que si R est le rayon du cercle initial le rayon du cercle R’ cherché est compris entre R et R*racine(2). Comme j’aurais aimé avoir des étudiants au moins capable de faire cette conclusion pendant mes dernières années d’exercice.
Donc R’=kR avec 1<k<1.414
L’équation qui permet de déterminer k peut s’écrire comme la somme de deux intégrales dont les bornes dépendent de k, somme qui doit être égale à pi/4.
Tout élève de terminale scientifique à l’ancienne doit être capable d’établir cette équation sinon de la résoudre. Ce problème peut donc être partiellement adressé à des élèves de lycée.
Je ne parviens pas à résoudre cette équation sans moyen de calcul (c’est possible de trouver à la main des approximations mais c’est très long). Donc, à ma connaissance, puisqu’il s’agit d’un cas particulier d’intégrales dites ’elliptiques’ il faut des moyens de calcul. C’est d’ailleurs un très bon exemple d’utilisation des ordinateurs puisqu’on en parle :
Voici un programme python qui donne la réponse :
import math
from scipy.integrate import quad

def int1(r) :
 def integrand(x) :
 return math.sqrt(r*r-(x-1)*(x-1))
 return quad(lambda x : integrand(x),1-r,1-r*r/2)
def int2(r) :
 def integrand(x) :
 return math.sqrt(1-x*x)
 return quad(lambda x:integrand(x),1-r*r/2,1)
def func(r) :
 return int1(r)[0]+int2(r)[0]

def main(n) :
 ideal=math.pi/4
 delta=(math.sqrt(2)-1)/n
 for h in range(0,n) :
 x1=1+h*delta
 x2=1+(h+1)*delta
 if (func(x1)-ideal)*(func(x2)-ideal)<0 :
 print x1

if __name__ == « __main__ » :
 main(10000)

La réponse est k=1.1587

Comme vous connaissez la réponse nul doute que vous saurez me reprendre si ce n’est pas exact.
Maintenant pour ce qui est de vos triangles à côtés ’infinis’ je n’en ai jamais rencontré un et je n’ai jamais rencontré de mathématicien qui en connaissent. S’ils continuent de hanter vos nuits, n’hésitez pas consultez un psy.

Outch ! bravo Abou et merci beaucoup.

Ainsi, selon vous, un Bac de 1970 aurait pu approcher de près cette solution.
Bon, va falloir que je tire une oreille à mon vieux prof qui avait dit à l’époque que nous en étions incapables.
Il me semble que la dernière courbe qu’il nous a fait dessiner était un coeur mais je ne me souviens plus si c’était le modèle à deux point d’inflexion ou l’autre tout gonflé.



Puisque vous m’avez conseillé le psy pour mes troubles face aux représentations des infinis et que je trouve que c’est un très bon conseil, je vous recommande à mon tour la même thérapie pour résoudre cette tension que vous partagez avec Dany et qui vous rend méfiant.

Rien absolument rien de ce que j’ai écrit pouvait donner à penser que je cherchais à vous piéger. Vous qui insistez pour que vos élèves s’en tiennent aux énoncés, vous avez extrapolé mes énoncés et les avez très interprétés pour en venir à croire que je cherchais à vous piéger et que je jouais l’âne.
Je ne sais en quelle langue vous le dire mais je ne sais vraiment pas résoudre la chèvre même maintenant que j’ai lu votre solution. Je ne sais donc pas dire si votre soluce est bonne ou pas.

Je l’ai dit incidemment, sans jamais avoir pu suivre les meilleurs de ma classe, je les ai enviés tellement ils semblaient jubiler. Il ne peut pas me venir à l’esprit d’humilier ou de vexer un prof ni de plomber quelqu’un qui jubile sans faire de mal à quiconque.



Il me semble que nous venons de vivre ici, Dany, vous et moi, une conjonction d’au moins deux phénomènes :
 
Le premier phénomène c’est que vous avez passé votre vie autour de la terminale en ses dimensions mathématiques et que les avanies de votre vie se situent souvent dans cette zone. Vous avez tous deux réussi l’agrégation mais au-delà de cette grande satisfaction, vous avez vécu au jour le jour mille misères autour des maths. Les maths sont donc vos alpha et oméga, c’est Le sujet de votre vie, votre croix et votre tabernacle à la fois.

Alors que les élèves de T de 1970 qui sont encore en vie, auront passé quoi, 200 h dans cette zone. Puis ils seront devenus boulangers, vendeurs de fringues, détrousseurs de mémés, garagistes et ministres. L’écart d’importance de cette zone est immense entre ce qu’elle représente pour les profs de maths et ce qu’elle représente pour ceux qui ont fait d’autres carrières.
Et il n’existe quasiment pas de profession en position intermédiaire. 
Nous sommes soit prof de maths pendant 35 ans soit toute autre chose. 

Cet immense écart d’importance entre les profs et les autres est un peu atténué par le fait que tout parent doit suivre les misères scolaires de ses enfants. Mais il n’y aurait pas cet élément, les profs deviendraient des Martiens pour les autres.

Le prof de math est visité par tout le monde et par toutes les générations. C’est aussi le cas du boulanger. Mais seul le prof et le boulanger peuvent remarquer les évolutionss dans la demande et la relation. 
Mettons que l’évolution de l’enseignement des maths soit représentée, au fil des années, par une courbe en ax (descendante ou montante, à vous d’en juger). La vie de vos élèves croise cette courbe en un seul point. UN SEUL. Ils ne peuvent pas en apprécier la pente. 


Le second phénomène qui m’est propre c’est que je ne crains pas le ridicule. Je crains pas du tout de passer pour un âne. J’ose être sincère et dire que je ne sais pas. 
Et je conviens que cette disposition à avouer très explicitement son ignorance ne peut pas être le lot des profs. Vous avez donc du mal à me croire sincère.




Sur les infinis, vous avez trouvé le moyen de m’évacuer en psychiatrie en énonçant que vous n’aviez jamais vu un triangle à côtés infinis, ni personne qui en ait vu un.
 
Mais avez-vous déjà vu un plan, une droite, en leur entièreté ? 

Avez-vous déjà vu le pré et la chèvre ? 
Avez-vous déjà vu un puits qui traverse la Terre ?
Avez-vous déjà vu la trajectoire de Curiosity ?
Avez-vous déjà vu la réduction de taille d’un pavé passé de la surface au fond d’un puits ?
Avez-vous vu g ?
Avez-vous vu un électron ?

Pourquoi avez-vous trouvé sensé de me répondre honnêtement sur la position précise de l’horizon d’un plan horizontal ?



 

Concernant votre soluce de la chèvre dont je répète que je suis un âne, j’aurais peut-être compris la moitié de ce que vous avez expliqué en 1970 mais aujourd’hui pas le quart.
Dans ma vie post bac, je n’ai eu qu’une fois ou deux à calculer une courbe en ax², rien de plus. Je n’ai pas souvenir avoir utilisé une seule fois sin. ou cos. et je n’ai utilisé de tableur qu’une seule fois pour un bilan d’entreprise. Je ne sais pas utilser une calculatrice scientifique.

Je peux encore jurer qu’une hyperbole est en 1/ax² mais je ne sais plus réciter que les dérivés et primitives les plus simples.
Je sais dessiner une maison en 3D sur Autocad mais je suis HS en maths.

Je reste cependant curieux d’une part de l’arc-en-ciel où semblent jouir les matheux et d’autre part de revisiter les mécanismes cognitifs qui m’avaient à l’époque mis en misère.
Je suis donc très intéressé que vous m’expliquiez comment on en vient à trouver la voie pour résoudre la chèvre mais aussi comment on peut offrir l’apaisement à quelqu’un qui se demande à quoi ressemble un triangle de côtés infinis.

Ainsi, dans le détail de votre démo, je trouve génial, en termes de réveil de mes vieilles connexions synaptiques, que vous rappeliez qu’il faut poser deux intégrales et penser à borner les possibilités de R’

Mais déjà je peine à piger votre bornage. J’aurais dit que R’ est compris entre R et 2R

Vous avez posé qu’il est compris entre R et R*racine(2)  [ R par racine de 2 si j’ai bien compris votre écriture. Effectivement difficile à rédiger sur de site]
Comment avez-vous trouvé ça ?
Est-ce que votre bornage permet de résoudre le problème alors que mon bornage ne le permettrait pas ?

(Après votre réponse, je vous remercierai et ne vous demanderai plus rien d’autre)

L’autre bornage qui me vient maintenant à l’esprit c’est que R’ est compris entre R et quelque chose qu’on peut tirer du fait que S brouté = la moitié de Pi Rcarré.
Est-ce de cette équation S brouté = la moitié de Pi Rcarré que vous avez déduit votre R racine de 2  ?

L’autre bornage qui me vient maintenant à l’esprit c’est que R’ est compris entre R et quelque chose qu’on peut tirer du fait que S brouté = la moitié de Pi Rcarré.
Est-ce de cette équation S brouté = la moitié de Pi Rcarré que vous avez déduit votre R racine de 2 
Allez voir cette image
En noir le cercle initial (rayon 1)
Point d’ancrage de la chèvre : A
Cercle de centre A et de rayon 1 en bleu (voyez vous pourquoi il est trop petit ?).
En rouge cercle de centre A etde rayon rac(2) (voyez vous pourquoi il est trop grand ?)
En vert cercle solution. A l’œil ça semble coller, les morceaux en excédent semblent compenser les morceaux en déficit.

en énonçant que vous n’aviez jamais vu
J’ai dit que je n’en ai pas rencontré ce qui n’est pas la même chose. Je rencontre des ondes radio tous les jours et je n’en ai jamais vu. Lisez attentivement, easy, si l’un de nous extrapole, c’est vous.

Punaise comment ça claque votre dessin !
Bravo et merci Abou, grâce à vous je viens de vivre une belle émotion

Comment je suis content, je vous dis pas.

C’est drôle, je suis pourtant pas manchot en dessin (à limites finies) mais faute d’avoir dessiné le problème, mon regard était resté dans la zone horizontale de votre dessin alors qu’il suffisait de lever ou baisser le regard vers les pôles du cercle R pour constater qu’il existe un cercle remarquable pouvant servir de borne.
Comme quoi, Il faut toujours faire le dessin quand c’est possible

Bravo Abou !
Ca me donne envie de refaire des maths


Comme promis, je ne pose pas une nouvelle question mais vous rappelle une question à laquelle vous n’avez pas répondu « Est-ce qu’un bornage insuffisamment serré (tel le mien), conduit à rendre la résolution impossible (ou bien plus fastidieuse) ? ».
Est-ce que le bon bornage ne fait que faciliter les choses ou est-il carrément condition sine qua non ?


Sur votre réflexion sur Rencontrer Vs Voir je pourrrais vous répondre en coq mais là j’ai plutôt envie de vous embrasser.


Il me vient une réflexion en allure de théorème. Si un problème peut être résolu par un dessin, par la vue, par le bon sens visuel, c’est cela la meilleure voie. Autrement dit, pour tout problème, il faut essayer de résoudre le plus possible par le bon sens visuel et compléter, seulement compléter par des concepts mathématiques.



Encore merci pour ce grand moment que vous m’avez généreusement offert.

"Est-ce qu’un bornage insuffisamment serré (tel le mien), conduit à rendre la résolution impossible (ou bien plus fastidieuse) ?".
Le bornage permet de fixer les idées d’avoir un ordre de grandeur de la solution. Plus le bornage est fin et plus l’algorithme est rapide. Dans ce cas d’école je traque un changement de signe d’une certaine quantité sur l’intervalle [1 ;1.414] donc finalement un intervalle assez petit. Le bornage est efficace dès qu’à l’intérieur des bornes la valeur cherchée est la SEULE solution de l’équation.
En fait dans notre problème le bornage [0,2] beaucoup plus grossier pourrait servir tout aussi bien parce que la fonction que nous étudions (surface broutée) est une fonction monotone croissante, elle passe par la valeur pi/2 une fois et une seule. Vu la puissance des machines aujourd’hui ça ne ferait pas une grande différence de partir avec ce bornage, mais justement la puissance de calcul des machines masque aujourd’hui certains problèmes théoriques. C’est pourquoi des algorithmes foireux ne sont pas détectés parce qu’ils font le travail en quelques dixièmes de seconde de plus qu’un bon algorithme. c’est au moment de la généralisation qu’on a de mauvaises surprises.
Enfin, il semble que votre plaisir soit réel et non un simple signe de politesse. Bien content de vous avoir apporté quelque chose.

Lumineux !

Merci Abou