A l’auteur.

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c’est sauvage d’interdire l’étude d’espaces dans lesquels on travaille en mathématiques, comme les réels (!) ou les espaces vectoriels
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Là où ce n’est pas assez clair à mon avis dans les programmes de mathématiques, c’est le point à mon avis fondamental : »LES MATHEMATIQUES SONT AVANT TOUT UN OUTIL POUR LA PHYSIQUE« . Visiblement vous non plus ne l’avez pas réalisé. Résultat des courses : les mathématiciens se font plaisir à établir des programmes de maths sans faire le lien avec les programmes de physique. Exemple : j’ai vu en 93 le calcul de dérivée pour la première fois en cours de physique, pas en cours de maths. Même chose pour l’intégrale indéfinie.
Est-ce normal ?

Là vous semblez apprécier les espaces vectoriels. Mais à ma connaissance, on n’en parle pas en physique, ou en mathématiques pour la physique : sauf erreur, pas de trace dans le cours Gibbs/Wilson de 1901 sur le calcul vectoriel. C’est un peu comme les »familles libres« et »familles liées«  : est-ce qu’on emploie ce vocabulaire en physique ? Non ! De toute façon, ces notions sont presque triviales, c’est beaucoup de formalisme pour pas grand chose.

Les maths pour les maths, ça a un sens, mais pas avant le supérieur, BAC+3 à mon avis. Cela n’empêche pas de faire de la logique, ou la construction des nombres réels comme vous dites, mais alors il faudrait bien prendre soin de dire aux élèves »Attention ! Le cours d’aujourd’hui, ce sont des maths mathématiciennes, qui ne vous serviront peut-être que très rarement en physique« . Quand on pense à ce que disaient les élèves en prépa : »Après le concours, on pourra tout oublier« . Maintenant, je pense que ce qu’on aurait dû dire, c’est :  »Après le concours, il faudra tout réapprendre« .
Un exemple précis : récemment je me suis repenché sur le théorème des fonctions implicites. Lorsque j’étais en maths sup, il était admis. Dans les livres, on voit qu’il est souvent admis (exemple : le bien connu Piskounov, éditions MIR), ou montré dans un cas particulier (Woods, »advanced calculus« , 1954). Pourtant, en écrivant les choses proprement avec une maîtrise du calcul différentiel, il n’y a pas besoin d’approche à la delta/epsilon (e.g. Aris, »Vectors, tensors, and the basic equations of fluid mechanics« , 1962) qui obscure toute la pensée. C’est toute la différence entre les gens qui essaient de faire du delta/epsilon tout le temps, et ceux qui essaient d’utiliser la notion d’infinitésimal au maximum (voir l’ »analyse non-standard"). Faire du delta/epsilon tout le temps, c’est franchement anti-pédagogique, et contre-productif.

Bref, vous aurez compris ce que je pense de la formalisation des maths en France, et qui malheureusement a gagné du terrain.