Le nombre pi, n’est pas rationnel, bien qu’on puisse l’approcher par des fractions avec (27/7, etc...) avec une précision quelconque.
Le nombre pi, n’est pas algébrique non plus, c’est à dire qu’il n’est racine d’aucun polynôme quel que soit son degré. En ce sens pi est plus compliqué qu’un nombre irrationnel comme racine de 2. On qualifie un nombre comme pi de transcendant. Ce n’est qu’en 1882 que Lindemann a établi la transcendance du nombre pi mettant fin à un problème vieux de plusieurs millénaires, la construction de pi à la règle et au compas, encore connu sous le nom de ’quadrature du cercle’. Ainsi aujourd’hui quand on parle de ’quadrature du cercle’ c’est pour désigner un problème insoluble.
Mais ce n’est pas tout ! La théorie des ensembles de Georg Cantor, prouve que les nombres transcendants, tels pi et e, la base des logarithmes népériens, sont en nombre infini , et que les non transcendants, c’est à dire les algébriques qui sont aussi une infinité sont en nombre négligeable devant les algébriques. Nous pouvons exprimer cela en termes de probabilités en disant que si on fait l’épreuve aléatoire qui consiste à prendre un nombre réel ’au hasard’ on est presque sûr de tomber sur un transcendant. Oui mais voilà, les nombres que nous manipulons en pratique sont presque toujours des nombres décimaux ou rationnels ou quelquefois algébriques, mais très rarement transcendants à l’exception justement des constantes classiques e et pi.
Cela veut dire que notre vision des nombres réels est plus que partielle, elle est négligeable.
On s’intéresse, bien sûr au développement décimal de pi, mais pour les mathématiciens la base 10 n’a pas d’intérêt particulier, elle est simplement liée au fait que nous avons 10 doigts. on peut donc s’intéresser au développement ’décimal’ de pi dans d’autres base comme 2 (binaire), 8 (octal, 16 (hexadécimal) ou 12 (duodécimal).
Ce qui est frappant c’est que même si on peut faire quelques remarques comme l’auteur le fait ici, aucune loi de distribution n’apparaît clairement. En clair, la suite des décimales de pi, toujours plus ou moins imprévisible, symbolise le hasard. A tel point que le nombre pi est utilisé par certains générateurs pseudo-aléatoires .
Pi a ses fans, l’histoire de son calcul est très intéressante, étalée sur plusieurs siècles. Bref, pi nous réserve encore bien des surprises.
Lien intéressant : le site de Boris Gourevitch