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Commentaire de JL

sur La science est la description du monde sans postulat


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Francis, agnotologue JL 23 août 2019 08:09

@JL
 
 Les postulats d’Euclide
 

« Du 10è au 19è siècle, nombreux furent les mathématiciens arabes et européens ont cherché à démontrer le 5è postulat à partir des quatre premiers. Sans succès. En fait, ils utilisaient alors inconsciemment dans leurs démonstrations une affirmation équivalente ! Malgré l’apport des travaux de Saccheri, le français Legendre, par exemple, s’est acharné pendant près de 40 ans à prouver que la somme des angles d’un triangle est égale à deux angles droits sans usage du 5è postulat dans le but d’en déduire ce dernier.

Toutes ces recherches et ces échecs menèrent finalement à la découverte de nouvelles géométries dites non euclidiennes :

♦ Si on le retire au profit de l’affirmation que deux droites distinctes sont sécantes à l’infini, c’est la géométrie projective (on ajoute au plan des points dits à l’infini, assimilés aux directions de droites , constituant la ligne de l’infini : Desargues, Poncelet.

♦ Si on le remplace par l’impossibilité, au contraire, de tracer une parallèle à une droite, on obtient la géométrie elliptique : par exemple, la géométrie de la sphère (surface à courbure constante positive) : Gauss, Klein, Riemann.

♦ Enfin, si on pose maintenant que par un point extérieur à une droite on peut mener une infinité de parallèles à cette droite, on obtient la géométrie hyperbolique, dite aussi de Lobatchevski, dont une représentation est la géométrie de la pseudosphère (surface à courbure constante négative) : Lobatchevski, Poincaré, Beltrami. »

 
Conclusion : Retirer le cinquième postulat d’Euclide ne mène qu’à des géométries moins riches, moins fécondes.
 

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