Beaucoup d’erreurs et d’approximations discutables.

Pour ne relever que certains points et ne pas faire (vraiment) trop long :

Pour commencer (ce n’est pas une critique ici, c’est pour la compréhension du lecteur), il faut bien comprendre que l’équation de Schrödinger est une équation différentielle, c’est à dire que ses solutions sont des fonctions, pas des nombres. Traditionnellement, on note les fonctions solutions de l’équation de Schrödinger Ψ.

De même, H, l’Hamiltonien, est un opérateur, c’est à dire une « fonction de fonction », qui agit mathématiquement sur ces fonctions. H représente l’énergie (potentielle + cinétique). H est la somme du Laplacien (dérivée partielle seconde en fonction des coordonnées d’espace) multiplié par une constante, qui représente l’énergie cinétique (ce terme ne change donc jamais), et de l’énergie potentielle à laquelle est soumise la particule.

Les espaces de Hilbert sont des espaces mathématiques. Ils décrivent simplement la structure d’espace vectoriel de l’ensemble des solutions de l’équation de Schrödinger. Ça veut juste dire que les solutions STATIONNAIRES de l’équation se comportent comme des vecteurs : ces solutions sont « orthogonales » entre elles, et définissent une base, comme un repère et ses vecteurs unitaires dans le plan ou dans l’espace. C’est à dire que l’on peut écrire chaque solution de l’équation comme combinaison linéaire de ces solutions STATIONNAIRES, comme n’importe quel vecteur peut se définir comme combinaison linéaire des vecteurs de base d’un repère.

Or, la forme de l’équation de Schrödinger que vous écrivez n’est pas stationnaire. Ce n’est pas l’équation aux valeurs propres. Sa forme stationnaire est :

H Ψ = E Ψ

H étant l’opérateur hamiltonien, et E un réel. E représente les valeurs propres, les niveaux d’énergies auxquelles peut accéder le système décrit par l’équation. Ψ représente les fonctions propres associées (propre, à comprendre comme étant propres au système étudié, appartenant en propres au système étudié... elles ne sont pas moins sales que les autres...).

A chaque fonction propre solution Ψ correspond une valeur propre E de l’énergie du système. Toutes combinaisons de fonctions propres Ψ conduit à une autre solution de l’équation. Propriété d’un espace de Hilbert : des fonctions qui se comportent comme des vecteurs. C’est tout.

Ceux qui on fait un peu de chimie connaissent les phénomènes de mésomérie et de résonance. Ce sont des combinaisons d’états propres quantiques.

La forme de l’équation de Schrödinger que vous écrivez s’utilise lorsque l’on a les valeurs propres et les fonctions propres (le plus dur), pour chercher l’évolution dynamique du système (là, c’est enfantin, quand on a les fonctions propres... et pas toujours très utile).

Cet espace mathématique de Hilbert est juste un moyen d’appréhender et de théoriser la façon dont se comportent les solutions de l’équation, mais n’a aucune vocation à décrire quelque réalité tangible que ce soit. Le terme d’« espace » n’est qu’une analogie, parce que ces solutions se comportent mathématiquement comme des vecteurs de l’espace.

Les « espaces » que l’on utilise en mécanique quantique sont notre espace temps à nous, décrit traditionnellement par les variables x, y, z et t, et l’« espace des phases », qui décrit la quantité de mouvement de la particule en fonction de sa position. On passe de l’un à l’autre par transformée de Fourrier, et c’est là que le principe d’incertitude apparait... mais ça serait vraiment trop long de rentrer dans les détails ici.

https://fr.wikipedia.org/wiki/Espace_des_phases

L’étude des instruments de musique amène à des équations très semblables à l’équation de Schrödinger, et les solutions de ces équations se comportent mathématiquement de la même façon (espace de Hilbert, combinaisons linéaires des solutions, etc). Pourtant, il est parfaitement évident qu’un son ne se propage pas dans un espace de Hilbert..

L’analogie musicale est très bonne si l’on veut appréhender l’aspect mathématique de la mécanique quantique. Les fonctions propres sont les modes vibratoires de l’instrument de musique, qui ne peut vibrer que sur certaines fréquences, et l’instrument peut vibrer suivant toutes combinaisons de ces modes vibratoires : c’est la note jouée et ses harmoniques. La note entendue est une combinaison des modes vibratoires possibles de l’instrument (on parle aussi de modes propres, fréquences propres, etc).

Où avez vous lu que l’équation de Schrödinger n’est pas valable dans un cadre relativiste ? Il peut être nécessaire d’introduire des corrections (constante de structure fine ou autres...), mais fondamentalement, non, elle est bien toujours valable dans un cadre relativiste.

Pour faire court... et je suis loin d’avoir tout lu pour ne pas m’énerver trop.