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Commentaire de SilentArrow

sur Heureux sont les mathématiciens !


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SilentArrow 28 août 2022 16:42

@Sylfaën.H.

Eh bien voilà. Vous utilisez la formule de la somme d’une progression géométrique de raison 0 < x < 1 et s’arrêtant au terme x^n, puis vous passez à la limite n→∞.

Vous avez donc montré sur cet exemple qu’on peut calculer la somme d’un nombre infini de termes en un nombre fini de pas, ce qui ne semble pas évident pour tout le monde ici.

Il existe une démonstration plus simple mais pas du tout rigoureuse :

A = 1 + x + x² + x³ + x⁴ ...
 = 1 + (x + x² + x³ + x⁴ ...)
 = 1 + x(1 + x + x² + x³ + x⁴ ...)
 = 1 + xA
A = 1/(1 — x)
A = 2 pour x = 1/2

Cette démonstration se passe de la formule de la somme des termes d’une progression géométrique mais suppose que l’on peut regrouper les termes d’une série infinie. Or, ce n’est pas le cas en général, l’associativité de la somme n’étant définie que pour un nombre fini de termes.

En particulier, cette méthode appliquée à certaines séries divergentes conduit à des résultats tels que

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... = — 1/12 (oui, moins 1/12)

comme le fait remarquer Astrolabe 27 août 19:55.

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