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Commentaire de SilentArrow

sur Heureux sont les mathématiciens !


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SilentArrow 30 août 2022 13:32

@Hervé Hum

Pour clarifier certaines choses :

Je ne l’ai pas dit, mais quand un nombre décimal contient un nombre fini de décimales, on ne l’écrit pas en mettant une suite infinie de zéros à sa droite. Cela me paraissait évident. Un nombre décimal qui contient un nombre fini de décimales ne fait donc pas partie de ces nombres décimaux ayant une terminaison périodique.

Un nombre décimal qui contient un nombre fini de décimale est évidement rationnel.
Par exemple, 1,72 = 172 / 100 = 43 / 25.

Pour un nombre décimal qui a un nombre infini de décimales, on ne peut pas y arriver aussi simplement.
Prenons 0,33333... = (3/10) (1 + 1/10 + 1/100 + 1/1000...)
On a une série infinie qu’on sait calculer (voir le com de Sylfaën.H. 28 août 16:10)
0,33333... = (3/10) (1 / (1 — 1/10)) = (3 / 10) (10 / 9) = 1 / 3

Pour l’exemple de l’exercice :

4,32147147147... sachant que les chiffres décimaux « 147 » se répètent à l’infini

= 4,32 + (147 / 100.000) (1 + 1 / 1000 + 1 / 1000² + 1 / 1000³...)
= 4,32 + (147 / 100000) (1 / (1 — 1 / 1000))
= 432 / 100 + (147 / 100000) (1000 / 999) = 108 / 25 + 147 / 99900
= (10789200 + 3675) / 24975 = 10792875 / 2497500 = 86343 / 19980

Vous pouvez vérifier que cette fraction vaut bien 4,32147147147... 

Ici encore, on trouve la solution parce qu’on est capable de calculer la somme d’un nombre infini de termes.

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