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Commentaire de SilentArrow

sur Eh ! Poussez pas !


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SilentArrow 16 janvier 07:08

@rhea 1481971

Ce n’est pas parce qu’un nombre s’écrit avec une suite infinie de décimales qu’il est nécessairement irrationnel. En fait, si la suite de décimales est périodique (faite de motifs répétitifs) à partir d’un certain point, le nombre est toujours rationnel et on peut toujours retrouver les deux nombres entiers dont il est le quotient.

Exemple : 3,43525252... (52 répété indéfiniment)

= 343/100 + 0,00525252...
= 343/100 + (52/10000) x (1 + 1/100 + 1/100² + 1/100³...)
= 343/100 + (52/10000) x 1/(1 — 1/100)
= 343/100 + (52/100) x (1/99)
= (343 x 99 + 52)/9900
= (33957 + 52)/9900
= 34009/9900
= 3,43525252...

Encore faut-il savoir que la somme infinie (1 + 1/100 + 1/100² + 1/100³...) vaut tout simplement et exactement 1/(1 — 1/100). Mais alors, vous savez comment résoudre le paradoxe de la dichotomie de Zénon :

1 + 1/2 + 1/4 + 1/8... = 1/(1 — 1/2) = 2

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