Rêves et probabilités de gagner au loto

Vendredi prochain, le 27 janvier, l’Euromillions propose aux joueurs une super cagnotte de 146 millions d’euros (près d’un milliard de francs), et ceci pour une mise de 2 euros. Cela signifie que les gagnants du premier rang, c’est-à-dire ceux qui auront trouvé 5 bons numéros parmi 50 et 2 étoiles parmi 9, se partageront au moins cette somme. La machine à rêves fonctionne donc à plein régime, et nombreux parmi nous sont ceux qui se demandent comment cela fonctionne réellement, et quelles sont les probabilités de gain. En somme, puis-je vraiment devenir très très riche...

Tout d’abord, il faut savoir que le Loto est un jeu à répartition de mise : ce qui est redistribué aux joueurs est un pourcentage des enjeux, ce pourcentage étant défini par un arrêté ministériel. Dans le cas du Loto classique de la Française des jeux - 6 bons numéros à cocher dans une grille de 49, environ 53% des sommes jouées sont redistribuées aux joueurs, le solde servant à rémunérer l’entreprise, le réseau de distribution, l’actionnaire (l’Etat), divers « émetteurs dits historiques », et à alimenter des recettes fiscales, notamment la TVA. Ensuite, pour chaque niveau de gain (6 bons numéros, 5 bons numéros + le complémentaire, 5 bons numéros...) une fraction de ces 53% est affectée au paiement des gains à ce niveau précis. Ainsi, toujours dans notre exemple de Loto classique 29,1% des gains, soit environ 15,4% des sommes jouées, sont redistribués aux gagnants de 1^er rang, ceux qui ont coché les 6 bons numéros (pour le premier tirage du mercredi ou du samedi).

On peut tirer plusieurs enseignements de cette mécanique :

•  à chaque tirage, les sommes distribuées varient, puisque les sommes jouées elles-mêmes évoluent de semaine en semaine. Ainsi, un vendredi 13, jour où un nombre plus important de joueurs va tenter sa chance, les gains sont potentiellement supérieurs à ceux des autres tirages de l’année
•  mieux vaut gagner seul plutôt qu’à plusieurs, puisque la somme à partager est la même à un rang donné, quel que soit le nombre de gagnants
•  on ne peut pas « faire sauter la banque », puisque la loterie ne redistribue que ce qui a été joué.

Dans le cas où il n’y a pas de gagnant à un rang donné - quand ça arrive, c’est toujours au 1^er rang, c’est-à-dire que « personne n’a coché les 6 bons numéros » - un mécanisme de report est mis en place. La somme non distribuée au premier rang peut alimenter les autres rangs gagnants, ou, plus souvent, constituer une cagnotte à reverser aux joueurs lors d’un prochain tirage. C’est ainsi que des super cagnottes - liées à des reports successifs - se mettent en place de temps en temps. La dernière en date est celle dont nous parlions en introduction pour l’Euromillions du 27 janvier, puisqu’il n’ya pas eu de gagnant au premier rang depuis le tirage du 11 novembre 2005.

Mais quelles sont mes chances de gain réelles ? Tout d’abord il faut dire et redire qu’il n’y a pas de martingale. Ceux qui se targuent d’écrire des livres à ce sujet n’en auraient sûrement pas besoin s’ils avaient effectivement trouvé la bonne formule, et gagner au Loto serait peu intéressant puisque les gagnants seraient très nombreux ! Dans le cas du Loto classique (6 bons numéros à trouver parmi 49) le calcul des probabilités de gain s’effectue en utilisant des combinaisons dites de type C^pn (choix de p numéros parmi un ensemble n). On arrive alors aux probabilités suivantes, pour des grilles simples :

- 1 chance sur 13 983 816 d’avoir 6 bons numéros

- 1 chance sur 2 330 636 d’avoir 5 bons numéros et le complémentaire

- 1 chance sur 55 491 d’avoir 5 bons numéros

- 1 chance sur 1032 d’avoir 4 bons numéros

- 1 chance sur 57 d’avoir 3 bons numéros

ce qui veut dire qu’au total, à peine 2% des grilles sont gagnantes.

Pour l’Euromillions, on utilise les mêmes méthodes de calcul, en fait une multiplication de deux C^pn, pour arriver à une probabilité de gain au premier rang de 1 chance sur 76 275 360, qui est donc beaucoup plus faible qu’au Loto classique. A l’Euromillions, les sommes jouées sont beaucoup plus importantes qu’au Loto traditionnel, puisque plusieurs pays participent à l’Euromillions (10 loteries en tout pour 9 pays, dont la France, l’Espagne et le Royaume-Uni), tandis les sommes redistribuées sont équivalentes (50% au total, 11% au premier rang). Par ailleurs, comme nous l’avons vu, les probabilités de gain sont sensiblement plus faibles qu’avec un Loto banal, ce qui entraîne de nombreux tirages sans gagnants, et donc des reports fréquents, avec des cagnottes qui s’additionnent. Ainsi, avec le cocktail peu de gagnants et beaucoup à distribuer, on arrive fréquemment à des sommes astronomiques versées aux chanceux. Et effectivement, cela se vérifie, puisqu’un Français a déjà gagné 75 millions d’euros en septembre 2005, et un Irlandais 115 millions en juillet dernier !

Alors, que doit-on faire ? Tout d’abord, pour gagner, il faut jouer, pour reprendre le slogan de la Française des jeux : « Tous les gagnants ont tenté leur chance » ; ensuite, pour maximiser ses gains (gagner plus et non pas gagner plus souvent), on a intérêt à jouer certains nombres, et en général des nombres élevés (de nombreux joueurs jouent des chiffres porte-bonheur ou des dates de naissance, il y a donc surreprésentation, dans les chiffres joués, des nombres compris entre 1 et 31 - en jouant les chiffres supérieurs à 31, si je gagne, la somme à répartir sera en général répartie entre un nombre moins élevé de gagnants- ou à l’inverse il faut éviter les combinaisons trop peu originales (exemple : 1,2, 3, 4, 5, 6), et puis, enfin, prier, car avec de telles probabilités, il faut surtout avoir la foi.

Alors, à vous de voir, si vous faites vos jeux !

Plus d’infos sur :

www.fdjeux.com ou http://www.loterieplus.com/

Pour les probabilités, aller, par exemple, sur http://perso.wanadoo.fr/cyberscargot/bazar/loto/loto01.html ou encore http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Probabil/DesProba.htm