Deux pour cent par an

Je me propose dans cet article d'effectuer quelques calculs simples autour de la notion de croissance à 2% par an, et de démontrer que même ce faible taux est irréaliste à long terme.

Une astuce de calcul

Une propriété intéressante des exponentielles est qu'il est facile, pour des taux de croissance de moins de 10%, d'estimer le temps qu'il faudra (on parle de période) pour multiplier la quantité considérée par deux. On peut utiliser la formule suivante : temps nécessaire = 70/taux d'accroissement. Et c'est tout ! Je vous passe les détails de la démonstration de cette formule (pour les plus curieux, elle est à base de développements limités). Revenons à notre exemple. Pour un taux d'accroissement de 2% par an, il faut donc 70/2=35 ans environ pour doubler notre quantité de référence.

Quelles tendances sur le long terme ?

Développons cette idée. Imaginons que nous produisions une seule baguette de pain et que nous nous fixions comme objectif bien peu ambitieux de faire croître notre commerce de 2% par an. D'après notre calcul, tous les 35 ans cette quantité doit donc doubler. Au bout de 35 ans nous devrons produire 2 baguettes. 35 ans plus tard, deux fois plus, soit 4 baguettes.

Nous obtenons la table de correspondance suivante. Pour passer d'une ligne à la suivante, on ajoute 35 ans à gauche et on mutliplie la quantité par 2 à droite.

Faisons une courte pause pour voir où nous en sommes après 350 ans. Dans 350 ans, et même tous les 350 ans, nous (ou plutôt nos descendants) devrons multiplier notre quantité de baguettes par 1024. Soyons grands seigneurs et arrondissons à 1000. Cela signifie donc que si nos aïeux avaient commencé à produire en 1662 une unique baguette par an, nous devrions absolument en produire 1000 cette année pour ne pas mettre la clé sous la porte. Que se passe-t-il ensuite ?

Voilà qui devient beaucoup plus intéressant ! Si on avait demandé aux artisans de l'an mille d'obtenir collectivement une croissance (aujourd'hui considérée comme lamentable) de 2% par an, nous, leurs descendants, devrions produire dès cette année un milliard de fois plus de biens qu'eux chaque année ! Chaque boulangerie de l'époque qui produisait au moins une baguette par an devrait donc aujourd'hui en produire un milliard (soit entre 4 et 5 millions par jour ouvré !), chaque maison de couture qui cousait au moins un costume par an devrait en produire un milliard etc... ! On saisit d'ores et déjà l'absurdité des ordres de grandeur en jeu quand l'échelle de temps augmente un tant soit peu.

Mais ne nous laissons pas impressionner et continuons d'accélérer. Pour faciliter la lecture il nous faut passer en notation scientifique, en remplaçant 1 000 000 par 10⁶ (10 puissance 6, ce qui signifie un 1 suivi de 6 zéros), un milliard par 10⁹, etc...

Stop ! Nous voilà arrivés au bout de notre périple. Notre modeste boulangerie a prospéré à travers les générations et après presque 10 000 ans de croissance laborieuse à 2% par an, nous sommes arrivés à produire 10⁸¹ baguettes chaque année. A quoi correspond ce nombre ? 10⁸⁰ est tout simplement l'estimation la plus communément admise du nombre d'atomes dans l'univers connu. Vous avez bien lu. En clair, vous prenez le système solaire, la voie lactée, toutes les galaxies autour, toutes les étoiles et le reste, vous comptez leurs atomes un à un, et vous obtenez 10⁸⁰, un 1 suivi de 80 zéros.

Et 9450 ans alors ? Cela correspond à peu près au temps qui nous sépare de la dernière ère glacière. A peu près à l'époque des tout premiers agriculteurs, à quelques milliers d'années près. A noter que l'humanité dite « moderne » est bien plus vieille que ça, l'homo sapiens datant de près de 200 000 ans, et que la Terre elle, a 5 milliards d'années. Ce n'est donc pas si vieux que ça, 9500 ans.

Nous voilà donc prêts à comprendre ce que veut dire réellement croître à 2% par an : si le premier agriculteur s'était fixé cet objectif de croissance à 2%, et qu'il avait cultivé un unique grain de blé la première année, ses descendants d'aujourd'hui devraient (chacun !) produire autant de grains de blé qu'il y a d'atomes dans l'univers connu (en fait 10 fois plus puisque le nombre auquel nous nous étions arrêtés était 10⁸¹, mais à ce compte-là on n'est plus à un facteur dix près)...

Le même raisonnement s'applique très simplement aux autres taux de croissance. A 10% de croissance par an, on avance en gros cinq fois plus vite, on atteint donc un facteur 10⁸⁰ en moins de 2000 ans ! Au delà de 10% par an les approximations liées à notre formule simplifiée deviennent trop importantes, mais le côté absurde de la croissance exponentielle à des taux même très bas a, je pense, été amplement démontré au cours de cet article.

Reste la question la plus importante : pensez-vous toujours, après avoir lu cet article, que 2% est un objectif de croissance raisonnable ?