Socrate et les polyèdres réguliers

(Comme dans le célèbre dialogue de Ménon, où Socrate applique sa maïeutique à un serviteur, il est censé à nouveau s’adresser à lui. Dans un premier temps il lui fait "redécouvrir " un a priori qui va se révéler faux.)


Socrate  : Sais-tu que les figures planes, tels les triangles, les rectangles et autres, limitées par des segments s’appellent des polygones ?
Le serviteur  : Je le sais.
Socrate  : Et sais-tu que lorsque ces polygones ont tous leurs côtés et leurs angles égaux, tels le triangle équilatéral, le carré, le pentagone régulier, l’hexagone régulier, on les appelle polygones réguliers ?
Le serviteur  : Je le sais aussi.
Socrate  : Mais combien y a-t-il en tout de polygones réguliers ?
Le serviteur  : Manifestement autant que l’on veut puisque leur nombre de côtés peut être aussi grand que l’on veut.
Socrate  : Et dans l’espace sais-tu que les figures solides telles les pyramides, les cubes et autres s’appellent des polyèdres ?
Le serviteur  : Je le sais.
Socrate  : Et sais-tu que lorsque ces polyèdres ont tous leurs côtés et leurs faces égales tel le cube par exemple on les appelle polyèdres réguliers ?
Le serviteur  : Je le sais aussi.
Socrate : Mais alors combien y a-t-il en tout de polyèdres réguliers ?
Le serviteur : Vraisemblablement il va en être des polyèdres réguliers comme des polygones réguliers et ma pensée est qu’ils sont eux aussi en nombre infini.

(Socrate fait d’abord le point sur les connaissances concernant les polygones réguliers dans le plan, en particulier celui de leurs angles aux sommets.)

Socrate  : Revenons aux polygones réguliers. Sais-tu la valeur des angles du polygone régulier de trois côtés, le triangle équilatéral ?
Le serviteur  : Ils valent 60°.
Socrate : Et ceux du polygone régulier de quatre côtés, le carré ?
Le serviteur  : Ils valent chacun 90°.
Socrate  : Et ceux de l’hexagone régulier si joliment fabriqué par les abeilles et qui s’obtient en accolant six triangles équilatéraux ?
Le serviteur : Manifestement 120° puisqu’ils sont l’accolement de deux triangles équilatéraux.
Socrate  : Ainsi plus le nombre de côtés augmente, plus la valeur des angles augmente pareillement ?
Le serviteur : Cela semble effectivement le cas.
Socrate  : Mais, dans notre progression, n’avons-nous pas oublié quelqu’un ?
Le serviteur  : Le pentagone régulier qui a cinq côtés.
Socrate : Et quelle est la valeur de ses angles aux sommets ?
Le serviteur : Je n’en sais rien.
Socrate : Mais puisque tu as convenu que ces valeurs vont en croissant et que pour le carré ,4 côtés, ils sont de 90° tandis que pour l’hexagone, 6 côtés, ils sont de 120°, tu conviens que cet angle inconnu pour le pentagone, 5 côtés, est entre 90° et 120° ?
Le serviteur  : J’en conviens.

(Socrate fait ensuite constater une propriété insolite dans un polyèdre sur la somme des angles qui ont le même sommet.)

Socrate  : Dans un polyèdre, il y a des sommets. Prenons celui de la très belle et grande pyramide d’Egypte. Sur ses quatre faces, on s’aperçoit que les angles valent environ 60° ce qui fait un total de combien ?
Le serviteur : Si ces quatre angles font chacun 60°, il en résulte que leur valeur totale est de quatre fois cette valeur à savoir 240°.
Socrate  : Mais si, en gardant toujours la même base, le sommet de la grande pyramide d’Egypte avait été beaucoup moins haut, qu’en serait-il advenu de ses angles de chaque face ?
Le serviteur : Ils seraient manifestement devenus plus grands.
Socrate  : Et qu’en serait-il advenu de leur somme ?
Le serviteur : Elle aussi serait alors devenue plus grande.
Socrate : Mais entends-tu par là qu’elle aurait pu devenir aussi grande que l’on aurait voulu ?
Le serviteur : Assurément non, car même à supposer que le sommet ait été rabaissé jusqu’au sol, elle ne pouvait pas dépasser 360°.
Socrate  : Par conséquent, la somme des angles aboutissant à un sommet d’un polyèdre doit toujours être inférieure à 360°.
Le serviteur  : C’est une nécessité évidente.

(Socrate commence une exploration systématique de tous les cas de figures possibles pour les faces d’un polyèdre régulier en débutant par le triangle équilatéral.)

Socrate  : Revenons à nos polyèdres réguliers. Leurs faces sont des polygones réguliers. Quel est le plus petit de ces polygones ?
Le serviteur  : Le triangle équilatéral.
Socrate  : Et quelle est la mesure de ses angles ?
Le serviteur  : 60°.
Socrate  : En un sommet d’un polyèdre, peut-on imaginer qu’il y ait seulement deux faces qui aboutissent ?
Le serviteur : C’est évidemment impossible car ces faces seraient plaquées l’une sur l’autre !
Socrate  : Peut-on alors imaginer qu’il y ait trois faces formées de triangles équilatéraux ce qui ferait en ce sommet un total angulaire de 180° ?
Le serviteur  : Absolument.
Socrate  : Peut-on imaginer, comme dans la belle pyramide d’Egypte, qu’il y en ait quatre ce qui, nous l’avons vu, ferait un total de 240° ?
Le serviteur : Evidemment oui.
Socrate : Peut-on imaginer qu’il y en ait cinq ce qui ferait un total de 300° ?
Le serviteur  : Ma réponse est toujours oui.
Socrate  : Peut-on imaginer qu’il y en ait six ce qui ferait un total de 360° ?
Le serviteur  : Cette fois-ci, ce n’est plus possible puisque nous avons vu que la somme des angles aboutissant à un sommet d’un polyèdre doit toujours être inférieure à 360°.
Socrate  : Et peut-on imaginer qu’il y en ait plus de six, c’est-à-dire sept ou huit ou plus encore ?
Le serviteur : Encore moins possible évidemment.
Socrate  : Ainsi en un sommet d’un polyèdre dont les faces seraient des triangles équilatéraux, ne peuvent concourir que trois ou quatre ou cinq de ces triangles. Ce qui ne fait que trois possibilités ?
Le serviteur : J’en suis d’accord.

(Socrate continue son exploration systématique aux cas où les faces ont quatre côtés, puis cinq, puis...)

Socrate  : Passons au polygone régulier suivant, le carré. Ses angles font 90°. Peut-on imaginer qu’en un sommet d’un polyèdre il en arrive trois, ce qui ferait un total de 270°.
Le serviteur : Oui, c’est possible.
Socrate  : C’est d’ailleurs ce qui se passe dans le cube. Mais peut-on imaginer qu’il en arrive quatre ce qui ferait un total de 360° ?
Le serviteur  : Impossible ici encore.
Socrate  : Et impossible de même d’imaginer qu’il en arrive plus de quatre ?
Le serviteur : C’est évident.
Socrate  : Par suite il n’existe qu’un seul polyèdre régulier dont les faces soient des carrés. D’ailleurs ce polyèdre nous le connaissons c’est le cube.
Le serviteur : Oui.

Socrate  : Passons au polygone régulier suivant : le pentagone régulier dont nous avons vu que les angles sont inférieurs à 120°. Peut-on imaginer qu’en un sommet d’un polyèdre régulier il en converge trois ?
Le serviteur  : Puisque ses angles sont inférieurs à 120°, leur somme à trois sera inférieure à 360° et c’est tout à fait possible.
Socrate  : Mais peut-on imaginer qu’en un sommet d’un polyèdre régulier il en converge plus de trois ?
Le serviteur  : Encore moins possible que pour le carré.
Socrate  : Par suite il n’existe qu’une seule possibilité de polyèdre régulier dont les faces soient des pentagones réguliers ?
Le serviteur  : C’est bien ce qui résulte de notre observation.

(Et enfin l’aboutissement de cette méthode particulière qui est la "maïeutique". C’est de lui-même que le serviteur va découvrir l’impossibilité de sa conception initiale.)

Socrate  : Passons alors au polygone régulier suivant : l’hexagone régulier dont les angles font exactement 120°. Peut-on imaginer qu’en un sommet d’un polygone régulier il en converge trois ?
Le serviteur  : Non, car la somme ferait 360° ce qui est impossible comme nous l’avons vu.
Socrate  : Et pareillement pour tous les autres polygones réguliers à plus de six côtés ?
Le serviteur  : Apparemment oui.
Socrate  : Ainsi, contrairement aux polygones réguliers du plan, il n’existe pas dans l’espace une infinité de polyèdres réguliers, mais il n’existe que cinq possibilités, à savoir, trois dont les faces sont des triangles équilatéraux, un dont les faces sont des carrés, et un dont les faces sont des pentagones réguliers.
Le serviteur  : Eh oui, absolument !