Dugué explique la chose à sa manière, et c’est assez conforme à ce qui fut fait.
 
Ce que j’y reprocherais, c’est qu’il s’agit d’une reformulation, et que l’équation paraît plus logique si on s’accroche à la chronologie des hypothèses de l’époque, et si l’on y met en face les observations qu’elle devait expliquer (ce que tout chercheur avait en tête à l’époque).
 
Il s’agit d’expliquer le spectre de l’hydrogène, dont la forme (les raies) montre une quantification qui fait indéniablement penser à un oscillateur harmonique.
 
On sait qu’une corde vibrante (ou une membrane) produit des harmoniques.
Ceci est interprété comme le fait que la corde est sujet à une onde stationnaire, c’est à dire l’addition de deux ondes qui progressent en sens inverse sur la corde.

La corde étant attachée aux deux bouts, l’onde s’y réfléchit, produisant deux ondes qui s’additionnent au milieu pour produire une figure stable, ou l’on peut séparer les variations en temps et en espace, qui montre une alternance de noeuds et de ventres. La distance entre les noeuds est proportionnelle à la longueur (L) de la corde et, selon l’énergie de l’onde, va prendre des grandeurs discrètes : L/2 (fondamentale) ; L/3 (quinte) ; L/4 (octave)...etc.
 
En pratique, pour le son, nous n’aurons jamais une fréquence fondamentale pure (ce qui serait le son d’une flute très douce), mais nous aurons un mélange d’harmoniques superposées (nous dirons un timbre). Au XIXème siècle, Fourier démontra que toute fonction périodique (comme l’est l’onde stationnaire), peut se décomposer en une somme d’harmoniques, et inventa une méthode mathématique pour le faire : c’est la transformée de Fourrier. La transformation de Fourrier d’une onde (sonore, lumineuse,..etc), nous donne... son spectre, c’est-à-dire la série des harmoniques qui la compose.

Donc nous voilà, au début du XXème siècle, avec des spectres particuliers à chaque éléments chimiques : il y a des harmoniques caractéristiques à l’élément ; la lumière qui échoit d’un élément chimique a un « timbre » particulier. C’est cela que la Physique doit expliquer.
 
Elle doit trouver un phénomène analogue à un oscillateur harmonique dans l’élément chimique.

D’abord fut fait le modèle de l’électron élastiquement lié (Thomson, Lorenz), qui est simple et permet d’aboutir très rapidement à expliquer la résonance : l’électron voit sa position varier comme un ressort sur le passage de l’onde lumineuse. On a l’équation (en négligeant la dissipation) : m*d²r/dt² + k*r = 0
D’où la fréquence de résonance : racine²(k/m)
On appelle k la raideur du ressort.
 
Mais quand l’atome voulu être considéré à l’image d’un système solaire (Rutherford), avec un électron en gravitation autour du noyau, cela posa problème : la force de rappel n’était plus proportionnelle au déplacement mais devait être en 1/r² !
D’où une équation m.d²r/dt² + k/r² = 0
Mais là, c’était malcommode de trouver une résonance (je ne crois pas que cela soit possible).
Donc il a fallut considérer l’électron comme une onde intrinsèquement résonante, reformuler la quantité de mouvement comme d()/dx et l’énergie comme d()/dt afin de parvenir à transformer une équation de l’optique en un Hamiltonien classique.

Bref, il aura fallut tout un tas de transformations qui ne semblent pas très logique à priori, pour parvenir au bon résultat. Et d’ailleurs l’on peine à déterminer ce que cela représente.
 
Il faut prendre la recherche dans l’ordre chronologique, si l’on veut la comprendre ;

Moi, je continue de penser le modèle de l’électron élastiquement lié comme pertinent.
En effet, mais je sais que ce n’est qu’une démonstration qualitative, si la force entre deux charges électrique varie bien en 1/r², le nombre de charge autour de la charge étudiée est proportionnel à la densité de charge multipliée par le volume (n = ρ*r³).
Le nombre de force qui s’appliquent à l’électron est de ρ*r³.

Quand on fait le bilan des forces qui s’appliquent à l’électron, on obtient donc :
................ n
m*d²r/dt² + ∑ K/(r ⁱ)² ≤ m*d²r/dt² + ρ*r³ * K/(r ⁱ)² = m*d²r/dt² + k*r
................i=0
Ce qui revient à la modélisation de l’électron élastiquement lié.

Et on en déduit que la raideur (k) est une fonction de la densité de charge, mais aussi de la disposition spatiale des charges dans l’élément (les forces sont vectorielles...), ce qui justifie donc que le spectre soit caractéristique d’un élément chimique, dans une certaine phase thermodynamique. Mais il faut encore prendre en compte la Force magnétique, qui apparaît, même si elle est faible, dans la structure fine du spectre.
 
Bref, je pense que l’on aurait pu choisir d’autres modèle que ceux de la physique ondulatoire pour expliquer le spectre des éléments chimiques. Nous aboutirions à une autre compréhension de la matière. Nous pourrions alors faire des expériences pour trancher entre ces deux modélisations.