Des neutrinos à la pierre de Rosette : une seconde révolution quantique en vue ?

Cet article est rédigé dans l'esprit d'une prépublication scientifique. Si vous voulez réagir, émettre des critiques, signaler des erreurs, vous pouvez m’écrire à _ duguebernard _ chez gmail.com ; ou en commentaires ici

1) Entrons-nous dans une époque de révolutions scientifiques ? 

En 1892 Lord Kelvin s’exprimait ainsi : « La physique est définitivement constituée dans ces concepts fondamentaux ; tout ce qu’elle peut désormais apporter, c’est la détermination précise de quelques décimales supplémentaires. Il y a bien deux petits problèmes : celui du résultat négatif de l’expérience de Michelson et celui du corps noir, mais ils seront rapidement résolus et n’altèrent en rien notre confiance ».

Ces deux petits problèmes ont été résolus mais pas comme le prévoyait Kelvin. C’est la représentation du monde qui a radicalement changé, avec les concepts fondamentaux de la physique. Einstein n’avait plus qu’à utiliser les formules de Lorentz et de Poincaré pour bâtir la relativité restreinte décrivant comment se situent deux référentiels inertiels. D’un autre côté, le « petit problème du corps noir » fut à l’origine d’une colossale révolution dans la représentation des processus physiques, grâce Planck qui introduisit le quantum d’action destiné à figurer dans les équations de la mécanique quantique élaborée en 1924.

En 2020, la science moderne semble définitivement constituée dans ses concepts, éclatée dans ses disciplines. Quels seraient donc les petits problèmes laissant entrevoir une possible révolution d’ampleur comparable à celle de 1900 ? Ou alors de « petites » découvertes se conjuguant et finissant par changer notre compréhension du monde ? J’en vois quelques-unes riches de promesses épistémiques. Les neurones miroirs comme explication de l’imitation et du désir mimétique, le système neuronal du réseau par défaut, responsable du Soi, les recherches sur les bactériophages menées en amont du système d’édition Crispr-Cas9, l’étrange comportement du blob suggérant que la « matière vivante » est aussi une « matière cognitive », sans oublier les récentes découvertes sur « l’empathie » des végétaux, puis l’étrange dualité AdS/CFT en gravité quantique avec le principe holographique. Et plus récemment les « cristaux temporels » prédits en 2012 et observés en 2017 ; et qui pourraient ouvrir la voie vers une nouvelle physique. Les quatre échelles du monde sont concernées, le mésoscopique, le macroscopique, le mégascopique et pour finir l’infrascopique avec une curieuse découverte sur les neutrinos pouvant s’associer aux autres découvertes et permettre de forger cette nouvelle vision du monde succédant à la conception moderniste des choses.

2) Quelques notions quantiques

La physique quantique utilise deux notions, le « vecteur propre » et la « valeur propre ». Un vecteur est représenté sous forme d’une colonne sur laquelle figurent des nombres. Un vecteur bidimensionnel permet de représenter une orientation sur une surface. Avec trois nombres, un vecteur indique une orientation dans l’espace. Et avec quatre, cette orientation se situe dans l’espace quadridimensionnel. La relativité restreinte utilise un quadrivecteur. En mécanique quantique, les vecteurs utilisent des nombres non réels, complexes.

Imaginez un cylindre effectuant une rotation de 90 degrés autour de l’axe des x. Chaque point matériel du cylindre subit une transformation. Tous les vecteurs représentant les points du cylindre sont modifiés, sauf l’axe des x qui reste inchangé. On le définit comme un vecteur propre, qui lors de cette transformation plus conserve sa norme (sa taille). Il est donc multiplié par un facteur 1 et c’est ce nombre qui constitue la valeur propre. Supposons maintenant qu’en plus de la rotation, la transformation ait pour effet de réduire de moitié le cylindre. Tout vecteur orienté sur l’axe des x reste inchangé, il conserve son orientation mais pas sa norme. Sa taille est de moitié et la valeur propre est égale à ½ ; si la transformation doublait la taille du cylindre, la valeur propre serait alors égale à 2. Il est possible d’imaginer une transformation dont l’effet serait de retourner le cylindre de bas en haut, ou de droite à gauche. Un l’axe des x ne serait plus alors un vecteur propre. 

En mécanique quantique, un système est décrit par un vecteur d’état, appelé aussi fonction d’onde. Ce qui peut être observé est déduit d’une observable, notée Â, consistant à appliquer un opérateur A sur les vecteurs qui sont alors transformés. Les paramètres observés dans le monde objectif sont donnés par la formule A Ψ_i = a_i Ψ_i ; dans cette formule chaque Ψ_i représente un état propre, A est l’opérateur et chaque a_i représente une possibilité d’observation. Pour résumer Ψ_i → a_i ; à chaque vecteur quantique est associé une valeur propre (excepté quand l’état quantique est dégénéré, autrement dit une valeur propre correspond à plusieurs vecteurs propre). Dans cette opération, le vecteur propre conserve son orientation et l’observable est un facteur par lequel le vecteur est agrandi ou réduit, expansion ou contraction, ou alors conservation quand l’observable est égale à 1.

La mesure quantique apparaît donc comme une sorte de décodage, ou de traduction, comme si j’écrivais ceci ; « un » → 1, « deux » → 2, « trois » → 3. C’est simple en définitive. Pour être complet il faut écrire la transcription entre états propres et observables en introduisant la probabilité « c_i » que l’on observe chaque état. Ce qui donne : Ψ_{i i = 1, 2, 3}… → [Â] → a_i ; c_i

Le coefficient de probabilité « c_i » est calculé à partir du vecteur d’état (il est égal au carré, ou la norme, du coefficient pondérant chaque état propre). La description d’une expérience quantique comporte deux procédés. D’abord construire la fonction d’onde avec les vecteurs propre, se donner une observable Â, calculer les valeurs propres et les probabilités. Puis réaliser l’expérience consistant à observer quelle sera la valeur obtenue une fois l’expérience réalisée. L’interprétation dite orthodoxe émise par Bohr en 1927 énonce que la description (fort complexe) de l’expérience ne renseigne pas sur le système quantique et que la seule connaissance tangible et sans équivoque est celle de la mesure qui est fourni par l’appareil, par exemple le spin d’un électron ou la polarisation d’un photon. La plupart des physiciens s’en remettent au décret de Bohr, considérant le domaine des fonctions d’onde comme un outil mathématique puissant et efficace pour réaliser les expériences. Pour résumer, connaître la matière c’est accédé à a_i ; c_i  ; c’est comme si l’on parlait à une personne et que l’on se contente d’écouter et de catégoriser chaque phonème sans chercher à comprendre qui est cette personne et ce qu’elle nous dit. Nombre de physiciens n’ont pas accepté la doctrine Bohr sont considérés comme des réalistes, les plus connus étant de Broglie et sa thèse de l’onde qui « pilote » la particule. Cette idée sera reprise par Bohm qui en donnera une version mathématique élaborée.

La distinction entre idéalistes et réalistes est devenue courante en physique quantique. Les idéalistes se rangent aux côtés de Bohr et les réalistes suivent Bohm ou bien d’autres voies. Contrairement à l’opinion reçue, cette distinction n’est pas une prise de position sur la matière ou le monde mais une différence d’attitude face à la science. La distinction est donc plus subtile, elle sépare ceux qui cherchent à utiliser la mécanique quantique et ceux qui cherchent à comprendre le monde quantique. Il y a plus de deux siècles, Kant avait déjà distingué les hommes qui ont l’usage du monde et ceux qui en ont une compréhension.

Le champ des interprétations réalistes de la mécanique quantique ne se réduit pas à l’onde pilote. Le philosophe a « naturellement » sa place dans ce jeu des interprétations. Il est que le monde des Ψ soit un encodage caché de la matière quantique, dont la traduction dans notre monde est réalisée par un processus en relation avec les opérateurs A. Les informations quantiques cachées des Ψ_i sont alors converties (transcodées) en signaux a_i pouvant être reçus et lus par le scientifique dans son laboratoire. Le physicien observe « a » mais ne peut pas voir le « monde des Ψ » (sauf exception, H. Maris aurait observé ce qui pourrait être une fission de la fonction d’onde en utilisant de l’hélium liquide). La conjecture quantique ressemble à une pierre de Rosette fonctionnant dans une seule direction.

Hiéroglyphes Ψ_i + opération matricielle [Â] → Démotique a_i

Pourrait-on imaginer un transcodage dans l’autre direction, du démotique au hiéroglyphe ? C’est envisageable en prenant appui sur d’étonnants résultats fournis par trois spécialistes des neutrinos secondés par un brillant mathématicien. 

3) Les neutrinos et la seconde mécanique quantique

Les neutrinos sont sans doute les plus étranges des particules. Ce sont des fermions dont le spin est égal à ½ comme l’électron ou le neutron. Etant neutres, ils sont insensibles à la force électromagnétique. Ils n’interviennent que dans les transactions énergétiques réglées par la force faible et se propagent dans l’espace à la vitesse c. Le neutrino appartient à la famille des leptons composée de trois particules chargées, électron, muon, tau, auxquelles sont associés trois neutrinos, chacun affectée de l’une des trois saveurs, électronique, muonique ou tauique. Si les neutrinos se propagent dans l’espace, ils peuvent aussi interagir avec la matière par l’intermédiaire de l’un des bosons de la transaction faible, le Z°, qui n’est pas chargé. Un neutrino peut alors changer de saveur et ce phénomène est désigné comme une oscillation. La nature est bien étrange. Imaginez un serveur de restaurant quittant la cuisine avec un potage salé qui une fois servi dans les assiettes devient sucré. C’est une toute autre cuisine, mathématique, qui est utilisée pour décrire comment ces oscillations se produisent avec des outils mathématiques plus compliqués que ceux utilisés par les pères fondateurs de la mécanique quantique. De plus, les changements de saveur des neutrinos n’ont pas d’équivalent en mécanique quantique de base mais ils utilisent ses outils mathématiques sommairement présentés dans cette parenthèse que vous pouvez passer.

(Les oscillations des neutrinos sont décrites à l'aide d'une matrice, analogue à la matrice CKM des quarks, contenant les divers paramètres entrant en jeu dans l’oscillation : la matrice PMNS. L’un de ces paramètres, l’angle de mélange θ, constitue l’élément sur lequel les scientifiques sont le moins informés et correspond à la probabilité qu’a un neutrino électronique d’osciller en une autre saveur. L'analyse comparative des θ des neutrinos et des antineutrinos devrait permettre de savoir si ces particules violent bien la symétrie CP, mécanisme permettant de comprendre comment la matière a pris le pas sur l'antimatière dans notre univers. La matrice PMNS, ou Matrice Pontecorvo-Maki-Nakagawa-Sakata qui renvoie à des travaux expliquant l’oscillation de neutrinos prédite par Pontecorvo en 1957. C’est une matrice unitaire servant de matrice de passage entre deux bases orthonormées de l’espace des états des neutrinos : d’une part la base des états propres (eigenstate) de saveur et d’autre part celle des états propres d’énergie ou de masse (eigenmass) des neutrinos. Dans les réactions faisant intervenir les neutrinos, ceux-ci sont produits dans un état de saveur bien défini (neutrino-électron, par exemple). Comme cet état se décompose en une superposition d’états propres du Hamiltonien, de masses différentes, il n’est pas stationnaire mais évoluera au cours du temps pour donner lieu au phénomène d'oscillation de neutrinos.)

En résumé, neutrinos sont décrits par deux phénoménologies, la propagation dans un espace vide de matière mais possédant une géométrie (Dirac ou Majorana) ; et les interactions bien plus complexes avec les quarks des nucléons dues à la « force faible » (matrice PMNS), cette interaction pouvant alors changer la saveur du neutrino. Les masses (énergies), les angles θ et la phase δ (violation symétrie CP) constituent la phénoménologie des neutrinos dans la matière et permettent de calculer les probabilités d’oscillation. La matrice unitaire de mélange [U_PMNS] permet de convertir les états de saveurs (liés aux quarks) aux états énergétiques (liés aux phénomènes).

  Hiéroglyphe flavor eigenstates → [U_PMNS] → masseigenstates 

  phénoménologie ↓ θ₁₃, θ₂₃, θ₁₂, δ ↓

4) D’étranges calculs à l’origine d’une identité mathématique ésotérique

Dans un article diffusé sur le site de prépublication arXiv, trois théoriciens de la physique évoquent une pierre de Rosette des neutrinos. En inventant une méthode pour calculer les probabilités d’oscillations, ils ont découvert fortuitement une relation inédite reliant les états propres (eigenstates) et les valeurs propres a_i (eigenvalues). Pour commencer, ils ont construit à partir de la matrice de mélange [U_PMNS] l’hamiltonien [H] associé aux oscillations décrites suivant les trois états de saveur, (électronique, muonique, tauique). Le calcul a été effectué à partir des valeurs propres a_i de la matrice hamiltonienne 3×3 décrivant les trois neutrinos et des valeurs propres b_j de chacune des sous matrices mineures 2×2 (M_j) contenues dans la matrice initiale et obtenues en ôtant une ligne et une colonne. Les trois chercheurs ont découvert qu’à partir des a_i et des b_i, ils pouvaient retrouver les coefficients de la matrice de mélange, ce qui n’était pas le but recherché et qui néanmoins devient le résultat principal comme nous allons le constater. Le schéma suivant indique les deux résultats et le chemin suivi représenté par les triples flèches verticales. On voit comment on calcule la phénoménologie (probabilités, phase) ainsi que le chemin conduisant du démotique des valeurs vers les hiéroglyphes de la matrice de mélange [U_PMNS] et ses vecteurs propres, explicité sous forme d’une identité mathématique. 

Hiéroglyphes [H] ← [U_PMNS] ← flavor eigenstate

  ((↑↑↑)) ← Démotique (a,b) eigenvalues, b_j, a_i ← [M_j] ← [H]

  phénoménologie  ((↓↓↓))  θ₁₃, θ₂₃, θ₁₂, δ  ↓

D’une part, les calculs (simulations) effectués à partir des valeurs propres convergent bien plus rapidement (avec un facteur égal 10^-5). D’autre part, l’identité mathématique est une propriété méconnue semble-t-il en algèbre matricielle. Le brillant mathématicien Terence Tao, médaillé Field, s’est joint au trio tel un quatrième mousquetaire. Il a confirmé que cette identité n’est pas considérée comme importante par la communauté des spécialistes en algèbre linéaire ; elle est vaguement explicitée avec des variantes tout en étant noyée dans la littérature scientifique. Plus étonnant encore, cette identité mathématique a été redécouverte en résolvant un problème de physique des particules et c’est assez troublant. Ce résultat ne signifie pas que cette identité est inscrite dans la « matière » mais que la résolution d’un problème de neutrino a conduit les physiciens à trouver une identité mathématique que les mathématiciens avaient laissée en friche.

Il y aurait des codes cachés dans les sous-matrices [M_j] 2×2 de l’opérateur [H], à moins qu’il ne s’agisse de décodage. Plus généralement, la matière contiendrait-elle alors des codes cachés à l’instar d’un noyau cellulaire contenant l’ADN de chaque cellule ? Avec ses confrères, Tao n’hésite pas à imaginer que la matière quantique puisse employer ces codes à l’échelle infrascopique. Cette identité mathématique ressemble de très loin à une conjoncture classique bien connue. La mécanique rationnelle utilise deux formulations, l’une assez ésotérique, avec le lagrangien L et l’intégrale d’action, l’autre plus évidente avec l’hamiltonien H. Là aussi une identité mathématique fonctionne car L et H se déduisent par une transformation de Legendre. Le physicien peut employer L ou H pour résoudre un problème de mécanique rationnelle, à l’instar des calculs sur les neutrinos utilisant deux méthodes. Sauf que la transformation matricielle quantique change le langage.

 Une sémantique très spéciale permet de décoder des réalités quantiques avec parfois des traductions permettant de passer d’un dialecte mathématique à un autre. Les « réalités quantiques » ont une traduction dans plusieurs langages. La mécanique classique nous renseigne sur les « lois » de la matière macroscopique et nous dit comment se comporte la nature dans laquelle les masses bougent avec des forces et se disposent dans l’espace. La physique quantique nous apprend aussi comment nous décodons la nature. Dans Les principes de la mécanique quantique, Dirac avait remarqué que les deux mécaniques utilisent des transformations de contact. En revanche, la physique quantique est la seule à employer des transformations canoniques consistant à passer d’une représentation d’observables à une autre concernant les mêmes observables. La mécanique classique n’étudie pas les représentations, contrairement à la physique quantique (Dirac). Le physicien quantique est aussi un sémanticien.

Les auteurs de cette étude n’ont pas pensé faire un « pont » avec la correspondance établie par Maldacena en gravité quantique. Il existe une identité mathématique reliant un champ conforme CFT sans gravité (dont la propriété est de conserver les angles) et un espace AdS conçu avec la gravité et une dimension de plus. La signification physique de cette correspondance échappe encore à la science. En revanche, cette « identité » permet aux théoriciens de faire des calculs et simulations dans l’une ou l’autre moitié de la dualité, selon le type de problème à résoudre. Les transcodages seraient aussi déterminants pour la physique post-moderne que les mesures pour la mécanique moderne.

Ces résultats mathématiques nous placent ainsi face à l’énigme de la matière. Comment interpréter ces représentations et ces transformations mathématiques ? En cosmologie quantique, la dualité AdS/CFT est en quelque sorte une identité mathématique qui fait réfléchir : « L’entrelacs formé entre la gravité quantique et une théorie ordinaire de jauge est un résultat remarquable autant que le signe d’une propriété inattendue des structures mathématiques à la racine des théories physiques. Il est impensable d’imaginer que la Nature soit étrangère à ce résultat et ne puisse utiliser les propriétés décrites par ces mathématiques. Néanmoins, la manière dont la Nature se « sert » de ces propriétés reste à élucider ». (G.T. Horowitz et J. Polchinski, 2006)

Cette remarque formulée par l’un des meilleurs spécialistes en gravité quantique, Joseph Polchinski, vaut également pour la conjecture des neutrinos. L’identité mathématique DPTZ suggère que la matière quantique n’est pas étrangère à cette propriété et qu’elle contiendrait sans doute des procédés permettant de coder, décoder, transcoder les informations fondamentales dont nous ne percevons que la face émergée. Or, pour émerger, la matière doit se manifester avec une énergie. La valeur des eigenmass représente en fait l’énergie de chacun des trois neutrinos. La représentation de Schrödinger contient deux caractères, la forme et l’énergie, que l’on peut mathématiquement séparer dans la description de l’atome d’hydrogène stationnaire (Dugué, 2017) sans qu’il n’y ait possibilité de déduire l’une de l’autre. La représentation des neutrinos permet d’aller un peu plus loin et d’imaginer comment les énergies manifestes (eigenmass) se convertissent en informations non manifestes (eigenvector), autrement dit la conversion de forme en énergie et réciproquement. Cette dualité rappelle une vieille idée de Leibniz empruntée à Nicolas de Cues sur la nature qui serait à la fois dépliée (explicatio) et repliée (complicatio). Le physicien réaliste Bohm s’en inspira pour construire son concept d’ordre implié. L’identité mathématique DPTZ déduite des neutrinos pourrait bien confirmer et expliquer comment la matière évolue sur deux faces, dépliée et repliée, en utilisant des codes fonctionnant non seulement vers le monde déplié mais aussi en sens inverse, vers un encodage implié. Les deux faces de la matière, c’est aussi ce qui se déduit d’une analyse de la mécanique quantique, notamment le spin des particules (Dugué, 2017b)

5) De la pierre de Rosette à l’énigme du sphinx

Un chemin vers une grande énigme aurait-il été ouvert par nos quatre mousquetaires de cette identité mathématique obtenue en algèbre linéaire, spécialité des mathématiques essentielle à la formulation des descriptions quantiques. Cette identité a été généralisée dans un long article très technique, incluant des démonstrations mais aussi une investigation épistémologique sur la présence diffuse et noyée de ce résultat dans la littérature (Denton et al. 2019b). Je présente sommairement ce résultat avec les moyens intellectuels d’un philosophe ne maîtrisant pas les mathématiques. Le résultat obtenu sur le neutrino utilisait une matrice 3 × 3 ; il a été généralisé à toute matrice hermitienne de dimension n × n.

Soit [A] cette matrice dont les valeurs propres sont notées a_i et les vecteurs propres notés cette fois « V_i »

[Mj] est une matrice mineure, elle aussi hermitienne, construite en éliminant de A la ligne j et la colonne j. C’est donc une matrice de dimension (n-1) × (n-1). Les valeurs propres sont notées b_i.

V_i, le vecteur propre d’indice i correspondant la matrice [A] contient n composants dont l’indice est noté j (₌ 1…n). Et donc V_i est développé de la manière suivante (V_{i, 1}…V_{i, j}…V_{i, n}). Il existe alors une relation mathématique reliant chaque composant de chaque vecteur propre V_i de [A] aux valeurs propres de a_i de [A] et m_j de [Mj]. Cette identité se résume à : 

 (V_{i, j})² ∏ _k  (a_i – a_k) = ∏ _k (a_i –m_k)  ; avec k = 1… n et k ≠ j

Cette formule s’avère somme toute banale, une parmi tant d’autres publiées dans les centaines de revues mathématiques depuis des décennies. Elle est relativement simple eu égard au stade de maturité complexe atteint par l’algèbre linéaire nous dit Tao. En revanche, parce qu’elle relie les vecteurs et valeurs propres de matrices hermitiennes, elle devrait percuter les spécialistes de la mécanique quantique mais aussi les philosophes. Sa première signification est d’établir un code reliant les deux composants de la dualité quantique universelle. D’un côté les états propres formant une base orthonormée et spécifiant des orientations, de l’autre les valeurs réelles correspondant aux phénomènes observés. Les hiéroglyphes cachés d’un côté, les expressions réelles en démotique de l’autre. Et la matrice avec cette fois un code caché dans les matrices minorées, ce qui représente une nouveauté en terme de théorie quantique.

Dans la conjecture de départ (a) les vecteurs et valeur apparaissent séparément à partir de la matrice, dans la conjecture DPTZ (b), les vecteurs sont reliés aux valeurs par une identité mathématique

(a) [A]  → V_i ___ & ___ a_i

(b) [V_i] ← (=) ← m_i & a_i ← [Mj] ← [A]

Alors, qu’en penser ? Est-ce une pure contingence découverte par sérendipité ou alors la transcription de quelque chose de plus fondamental en physique quantique ? Nous le saurons certainement au cours de la décennie qui arrive. N’oublions pas que la physique quantique fut formulée à l’origine comme une mécanique des matrices par Heisenberg, Born et Jordan.

L’histoire nous enseigne une chose, c’est que la physique moderne a toujours été un chassé-croisé entre les expériences, les significations physiques et les formules mathématiques. En 1905, les mathématiques de la relativité restreinte étaient disponibles, publiées par Lorentz d’une part et Poincaré d’autre part. Mais ces deux brillants savants n’ont pas réussi à trouver la signification physique aboutie et ce fut Einstein qui les employa pour son article sur l’électrodynamique des corps en mouvement. Même situation en 1915. Einstein avait l’intuition de la relativité générale et s’associa au mathématicien Grossmann pour finaliser sa théorie (comme il le fit en 1927 pour calculer les géodésiques avec un autre mathématicien, Gromer). En 1915, Einstein et Grossmann trouvèrent la bonne formule mais furent précédés de quelques jours par Hilbert qui avec son génie suivit une route mathématique bien plus rapide et surtout plus élégante. Et qui en gentleman refusa la paternité de la relativité, reconnaissant le long travail d’Einstein conduisant à conjecturer le cosmos avec des intuitions physiques inédites. En 2020, Terence Tao fait figure de Hilbert du 21^ème siècle tant ses domaines de compétences sont étendus. Il manque alors un Einstein pour décrypter l’identité matricielle des vecteurs et valeurs si celle-ci a une signification physique.

Nous voilà donc face à une grande énigme. Cette formule recèle quelque chose d’universel mais je ne saurai en dire plus et resterai au stade de l’intuition. En revanche, les résultats sur les neutrinos confirment la thèse d’une matière qui possède deux faces et communique avec le physicien à travers l’expérience (voir Dugué, 2017b). Communiquer c’est transmettre un signal et si possible le décoder. Les matrices quantiques seraient alors le reflet des systèmes de décodage dans la matière, ce qui enrichit l’interprétation de la physique et confirme l’émergence d’une seconde théorie quantique avec les champs et les « transactions fondamentale ».

En conclusion, il n’y a pas de mesure quantique. La mesure appartient au vocabulaire du monde classique. En physique quantique, observer ce n’est pas mesurer mais décoder. Au fronton d’un improbable temple de la nouvelle connaissance, nous pourrions écrire une formule tout aussi énigmatique que le gnôthi seauton à Delphes. Cette formule mathématique est elle aussi socratique, signifie une chose fondamentale, notre ignorance. Nous ne savons pas si elle correspond à une réalité physique matérielle, à des codages, décodage, transactions entre formes et énergies. Ou si elle est un symbole dont l’utilité serait d’ordre heuristique, indiquant quelques pistes pour étudier les décodages dans la nature se produisant dans les noyaux atomiques, les noyaux cellulaires, génome, épigénome, les réseaux neuronaux. Affaire à suivre. Si cette formule est une clé, j’ignore quelles portes elle ouvre.

  ------- (V_i,j)² ∏ _k  (a_i – a_k) = ∏ _k (a_i –m_k) -------

Peter B. Denton, Stephen J. Parke, Xining Zhang, Eigenvalues : the Rosetta Stone for Neutrino Oscillations in Matter, arXiv, 1907.02534, 2019a.

Peter B. Denton, Stephen J. Parke, Terence Tao, Xining Zhang, Eigenvectors from Eigenvalues : a survey of a basic identity in linear algebra, arXiv:1908.03795, 2019b

Bernard Dugué, Temps, émergences et communications, Iste, 2017-b

G.T. Horowitz, J. Polchinski, Gauge/gravity duality, arXiv : gr-qc/0602037, 2006

G.T. Nathalie Wolchover, Neutrinos Lead to Unexpected Discovery in Basic Math, Quanta magazine, 13/11/2019)