Enseignements scientifiques entre savoirs douteux et formules magiques

Dans l’enseignement des mathématiques, l’outil informatique est une aide qui permet d’aborder des problèmes autrefois impensables avec une facilité déconcertante, mais cela doit-il se faire au détriment de l'étude des concepts fondamentaux ?

Je propose ci-dessous des extraits d’un commentaire intéressant posté au sujet de l’un de mes articles paru sur Agoravox, intitulé Un enseignement pour les singes savants [1]  :

« Ce même outil [informatique] permet de prendre en considération de nombreux points que l’enseignement « classique » laissait dans l’ombre, mais cela doit venir en complément d’une présentation franche. (…) 

Dans l’enseignement « classique » (celui qui incarnait la tradition jusqu’aux années 1960) et que j’ai reçu, donc avant les « maths modernes », deux sujets étaient exposés l’un depuis la classe de 5^e (la résolution des équations) et d’autres en classe terminale comme l’intégration et les équations différentielles. 

Pour ce qui concerne les équations, on ne considérait que des équations algébriques (premier degré jusqu’à la classe de troisième), puis second degré à partir de la seconde et jusqu’à la terminale. Les terminales scientifiques (mathélem) se voyaient proposer la résolution de certaines équations des troisièmes et quatrièmes degrés à titre d’exercice. Les équations non algébriques s’y ramenaient par des changements de variables. 

Cela donnait des idées fausses. En particulier que toute équation possédait des solutions « explicites » (puisque toutes étaient issues de manuels d’exercices) et que toutes étaient algébriques par nature. La réalité est bien différente, la plupart des équations n’étant pas de ce type, et bien que dans certains cas la théorie affirme l’existence de solutions, on ne sait que trouver des approximations de ces solutions par des méthodes nécessitant l’emploi de moyens de calcul (dichotomie, etc.). (…) 

Je pose la question : quel est l’exercice le plus intelligent ? Donner une équation bizarre et demander de prouver qu’elle a une solution dans un intervalle donné, et déterminer cette solution à l’aide d’un instrument de calcul quelconque (calculette, tableur...), ou bien rabâcher des exercices de résolution d’équations algébriques ? 

Il en était de même pour le calcul d’intégrales définies. Tous les exercices proposés étaient fondés sur une recherche explicite de primitive, donnant par là à penser que la grande majorité des fonctions possédaient des primitives explicites, alors que celles-ci étaient en fait une infime minorité et qu’elles étaient fabriquées dans les recueils d’exercices pour justement tester la virtuosité de calcul des étudiants et le maniement des méthodes habituelles (intégration par parties et changement de variable). 

Le fait d’utiliser des machines permet de remettre en selle les méthodes numériques de calcul d’intégrales (méthode des rectangles, des trapèzes, etc.), et même de revenir à la définition. 

On peut faire la même remarque pour les équations différentielles (tous les exercices étaient fabriqués et d’un type particulier, le plus souvent linéaires à coefficients constants, de sorte qu’on occultait les méthodes d’analyse numérique (polygones, etc.) qui sont souvent le seul moyen efficace d’intégrer de telles équations. 

Voici donc des exemples où l’apport de l’informatique est décisif et permet même d’améliorer la connaissance théorique d’un sujet ou de rectifier des idées fausses héritées d’un enseignement fondé sur une typologie d’exercices répétitifs. (…) » 

Les exemples pris dans ce texte sont significatifs et montrent que l’outil informatique permet « d’aller plus loin et plus fort » et de bouleverser certaines conceptions biaisées que l’on pouvait apprendre en suivant d’autres méthodes.

Voilà pourquoi il n’y a pas à s'élever contre l'utilisation des capacités numériques des machines, qui sont d’un excellent soutien dans de nombreux domaines, nous font progresser d'une manière radicale, et nous offrent de nouvelles approches qu’il faut exploiter. Mais je pense qu’il faut prendre garde à ne pas exagérer sous la pression d’un phénomène de mode. Il faut mesure garder et tête froide conserver, et ne pas sous-estimer le travail théorique nécessaire à une compréhension satisfaisante de concepts importants. En mathématiques, il ne faut pas nier l'importance de l'acquisition de bases théoriques solides sur lesquelles on peut construire ses connaissances avec sérénité : l’utilisation d’un outil, aussi formidable soit-il, ne doit pas mener à saboter des définitions rigoureuses (en n’en donnant que des versions édulcorées et fausses) et refuser de donner un cours structuré où les théorèmes sont abordés avec leurs démonstrations.

Attendre l'entrée à l’université pour donner l’accès à un mode de pensée que seules sont capables de proposer les mathématiques et la philosophie, représente un choix regrettable quand on sait l’impact décisif que cela peut avoir dans l’étude de toutes les autres sciences exactes (physique, chimie, astronomie, sciences naturelles, etc.). Sans compter que ce choix écartera de la voie scientifique beaucoup d'élèves capables d'abstraction dès l’entrée au lycée, et attirés par la rigueur d’un exposé de mathématiques. La rupture est consommée au lycée où l’approche théorique, seule porteuse de sens, a été gommée, au fil des réformes, dans deux matières qui devraient être préservées dans un parcours scientifique : les mathématiques et les sciences physiques. Un mauvais choix qui rend le travail de nos étudiants plus pénible.

Dans l’extrait donné plus haut, l’exemple de la résolution d'équations polynomiales de degrés quelconques est très instructif, car nous met devant nos responsabilités de scientifiques et de pédagogues. Se polariser sur la recherche des solutions d’équations par radicaux ne peut pas être le seul objectif de l'étude des polynômes.

L'idéal voudrait que l'on ait une vision claire de ce qu'est un polynôme ou une fonction polynomiale, que l'on sache parfaitement résoudre « à la main » des équations du second degré, et que l'on utilise des logiciels de calcul formel pour chercher des valeurs approchées des solutions des équations polynomiales de degrés quelconques, surtout quand on sait que la résolution systématique des équations polynomiales par radicaux est impossible pour des degrés supérieurs ou égaux à 5 d'après le Théorème d'Abel-Ruffini, et que l’on n’apprend jamais les formules de Cardan pour le degré trois, car ce serait une perte de temps. Pour obtenir des valeurs approchées des solutions, on utilise un ordinateur. Il faut aussi rappeler que la construction d'algorithmes de recherche des solutions d'équation f(x)=0, comme l'algorithme de dichotomie ou celui de Newton, doit faire partie de l’étude des fondamentaux, et que ces algorithmes aboutissent naturellement à une programmation sur ordinateurs, si on le désire. Donc a priori, il n'y a aucun problème : les mathématiques, comme les autres sciences, disposent d’un outil formidable que l’on n'hésite pas à utiliser.

Pour étudier les fonctions polynomiales au lycée, il ne faut pas se limiter à « n'utiliser que la machine ». Il faut apprendre une science sans tabou, et profiter d’un minimum d’abstraction et de formalisation dès que cela permet de simplifier les apprentissages, l’objectif étant de proposer un discours simple et facile pour retenir des contenus importants et construire son savoir dans de bonnes conditions.

L'enseignant est là pour donner un sens et une direction à un apprentissage. Malheureusement, il aura bien du mal à atteindre ses objectifs sur des horaires faméliques et en tenant compte des orientations imposées par les programmes. Mettre délibérément l'accent sur l'utilisation d'un logiciel pour traiter des équations du second degré ne simplifiera pas le travail de nos élèves. Il faut faire des mathématiques sans être complexé si l'on estime ne pas avoir besoin d'une machine pour travailler sur un concept, tout en se permettant bien entendu de montrer combien une machine est indispensable pour obtenir des résultats approchés quand les calculs deviennent impossibles.

L'utilisation des machines doit venir en complément et en support d'une étude théorique, et ne pas remplacer cette étude, à moins d’interdire l’accès à la source de la connaissance, et d’en pâtir de longues années durant ses études à cause d’un certain nombre d’idées fausses qui se seront accumulées. Il ne s’agit pas de créer de toutes pièces de nouveaux obstacles didactiques. L’objectif du pédagogue est d’aplanir les difficultés sans pour autant les nier.

La mathématique est la science des définitions et des raisonnements, et il ne faut pas saboter les premiers apprentissages qui sont ceux qui donneront des idées claires qui accompagneront toute une vie de travail et d'utilisation des sciences, pour qui se destine à cette voie. Un horaire doit donc être réservé à ces apprentissages, durant lequel on pourra bien sûr exploiter les capacités des machines à bon escient, avec retenue et intelligence, donc sans en faire un dogme, comme on le ressent actuellement. A ce sujet, on peut rester optimiste quand on sait qu’un coup de balancier dans un sens est en général suivi d'un coup de balancier dans le sens contraire quelques années plus tard, le temps que la majorité intègre les changements et arrivent à en tenir compte avec intelligence. C’est la violence des coups de balancier qui est préjudiciable.

Une solution optimum serait de réserver un horaire spécifique pour apprendre à utiliser des logiciels de mathématiques (calcul formel, géométrie dynamique, tableur...) en classe, dans le cadre d'activités variées et enrichissantes. Cet horaire dévolu devrait venir en complément d’horaires conséquents réservés aux apprentissages des idées et des raisonnements, les deux enseignements s'éclairant mutuellement pour le bénéfice de l'apprenant.

Actuellement, cette solution ne peut pas être adoptée pour la seule raison que l’on ne peut pas rajouter des heures à un enseignement qui laisse déjà peu de temps aux élèves pour leur repos et leur travail autonome, et l’on peut dire que ce temps nécessaire manquera tant que l’on sera persuadé que l’élève vient au lycée pour TOUT apprendre. Dans la vie, il y a des choix à effectuer, il y a des chemins à emprunter, et un sentier qui traverse des plaines ou qui longe la mer ne ressemble pas à un chemin qui serpente dans la montagne. Tous ces chemins, si différents, ne peuvent pas être empruntés au même moment par la même personne.

Par des choix politiques, on a décidé de supprimer les filières du lycée, d’abord en instituant la seconde indifférenciée, puis en faisant exploser la « première S » pour n’en faire que l’ombre d’elle-même, aboutissant à une baisse globale du niveau des connaissances au lycée. A ce sujet, on peut rappeler que l’on propose actuellement seulement 35% d'enseignements scientifiques, toutes matières confondues, aux élèves d’une « première scientifique », et que les enseignements restants sont essentiellement des enseignements de type littéraire (français, deux langues vivantes, histoire-géographie, éducation civique juridique et sociale…). On peut aussi rapporter [2] qu’il est possible d’obtenir son BAC S en ayant un 5/20 en mathématiques, et de mauvaises notes en sciences, puisque le poids est le même entre les coefficients des matières scientifiques et ceux des matières de culture générale, soit un match à 50-50. Il y a du vice à vouloir donner un label « scientifique » à quiconque réussi son BAC avec des résultats en sciences largement en dessous de la moyenne. Suis-je le seul à le penser ? 

Motiver plus d’étudiants en sciences, c’est proposer dès la première année de lycée une filière scientifique véritable réservée à ceux qui ont les capacités pour la suivre. On pourrait aussi inventer des filières littéraires, ou économiques et sociales mieux centrées sur leur domaine d’études. Il serait aussi judicieux de créer une filière « généralistes » pour ceux qui ne se décident pas, ou n’ont pas les moyens, ou préfèrent simplement toucher un peu à tout, comme c’est le cas actuellement dans la filière scientifique, pour obtenir un panel assez large de savoirs moins approfondis qui leur permettraient d’attendre d’avoir le BAC avant de s’orienter véritablement. La création de filières aurait pour effet de donner un « souffle » suffisant aux matières que l'on a décidé d’approfondir. Elle éviterait l’éparpillement.

Reparlons des polynômes, et plus spécialement de la recherche des racines d’un polynôme, comme dans le texte d’introduction. La question posée n’est pas anodine : quel est l’exercice le plus intelligent ? L’exercice qui ramène la résolution d’une équation polynomiale à celles d’autres équations qui permettent de la résoudre « à la main », ou celui qui consiste à demander des valeurs approchées des racines à un logiciel de calcul formel ?

Le premier exercice a le mérite de montrer que l’on sait factoriser certains polynômes bien choisis, puis utiliser les règles de calcul dans le corps des réels (ou celui des complexes si on se le permet) pour calculer des solutions exactes. Il permet en particulier de vérifier que l’on sait utiliser que le corps dans lequel on travaille est intègre, et que l’on sait rédiger sa solution correctement, sans écrire de non-sens. Le second exercice consiste seulement à recopier une équation sur un écran puis appuyer sur le « bon bouton » pour faire afficher des solutions approchées. Sait-on mieux raisonner après cela ? A-t-on montré que l’on était capable de rédiger un raisonnement construit sans écrire de fautes de logique et en expliquant correctement au lecteur ce qu’on voulait lui expliquer ? Obtient-on ainsi une meilleure perception de ce qu’est une équation ? Un polynôme ? Je ne le crois pas.

Il ne faut pas beaucoup de connaissances pour taper une équation sur un ordinateur et lire des nombres qui s’affichent après avoir poussé un bouton. L’activité est utile quand on poursuit d’autres buts et que la solution approchée que l’on convoite doit être exploitée ailleurs. Quoi qu’il en soit, il s’agit d’un savoir-faire qui s’apprend facilement et que l’on utilisera naturellement dès que cela sera nécessaire pour son travail !

Par contre, travailler à factoriser une expression et s’entraîner à employer toutes les règles de calcul en vigueur dans le corps des réels est un objectif beaucoup plus significatif et difficile à atteindre, qui ouvre ensuite la porte à la capacité de trouver des équations qui régissent une situation, ce qui est absolument nécessaire dans l’étude des phénomènes physiques et dans toutes les sciences expérimentales. On peut par exemple penser à l’étude de la dérivation des fonctions et à l’établissement des équations qui régissent des trajectoires de mobiles (mécanique, cinématique), ou bien à l’étude des équations différentielles qui permettent d’établir des lois en électricité, en mécanique, en thermodynamique, et un peu partout. Les notions abordées en mathématiques constituent l’alphabet dans lequel s’écrivent les sciences, et il ne faut pas que nos élèves de terminale deviennent « analphabètes en sciences » à cause d’une mode passagère et de choix plus politiques (et économiques...) que didactiques.

Les deux types d’exercices dont on parle plus haut n’ont donc pas la même finalité. Le premier permet à l’apprenant d’acquérir des outils efficaces qui lui seront utiles (connaissance des réels, capacité à former et à exposer un raisonnement), tandis que le second consiste simplement à savoir si celui-ci sait appuyer sur le bon bouton du bon logiciel qui appliquera automatiquement les bons algorithmes mathématiques pour résoudre rapidement une équation. Quel est l’exercice le plus intelligent ? Ces exercices ne sont pas équivalents puisque n’ont pas la même finalité, mais le premier est plus formateur, met plus de savoirs et de compétences en jeu, donc semble préférable.

Pointons du doigt trois écueils à ne pas réserver une part suffisante à l’approche théorique des sciences au lycée.

 Ecueil n°1 : une perte de justification - S’il s’agit d’appliquer une formule sans comprendre parce qu’elle est écrite dans un livre ou parachutée par un programme, cela revient à « suivre sans comprendre » et à accepter tout sans justification. Une telle posture légitime la question de certains élèves qui se demandent « à quoi cela sert de démontrer ».

Dans un excellent paragraphe intitulé : « Un outil préhistorique prohibé : les mathématiques » (dans l’article [3] écrit par un professeur de physique), l’auteur compare la façon dont on traite du problème de la superposition des ondes dans deux manuels de cours. Dans un manuel de terminale S de spécialité Sciences Physiques utilisé en 2007, on ne peut trouver qu’une formule à ce sujet, et cette formule est présentée comme suit : 

« Dans le cas d’un fil tendu entre deux points fixes, ou d’une colonne d’air dans un tuyau ouvert à ses deux extrémités, la condition d’existence d’une onde stationnaire est 2L=kl, où k est un entier naturel, L la distance séparant les deux obstacles fixes et l la longueur d’onde des ondes progressives dans le milieu de propagation. » [3]

La formule est parachutée sans preuve au sein d’un paragraphe de quelques lignes donné sans illustration, et il est évident qu’aucune démonstration ne sera demandée ni exigible des élèves. Nous sommes ici entré dans le domaine du magique où « l’élève scientifique » doit appliquer une formule miracle obtenue on ne sait pas comment. L’élève doit vouer une confiance aveugle au manuel !

La comparaison avec un manuel de physique de 1953 est édifiante. Il s’agit de Physique, classe de mathématiques, de J. Cessac aux éditions Nathan :

On comprend mieux d’où vient cette formule mystérieuse, et on accepte mieux de l’utiliser après avoir validé un raisonnement que l’on a pu apprécier. Voici ce qu’écrit magnifiquement l’auteur de l’article à ce propos : 

« Les formules ci-dessus, d'une précision incomparable, sont précédées d'un raisonnement d'environ quarante lignes en bon français, et deux schémas à l'appui. A l'aide d'une expérience réelle et d'une « expérience de pensée » on y montre pourquoi l'immobilité des points extrêmes est à l'origine d'une onde réfléchie, et l'on étudie sans a priori sa superposition à l'onde incidente. C'est alors qu'intervient la mise en équations, qui apporte rigueur et généralité à l'ensemble, et qui permet d'envisager d'autres cas de figure. Cette présentation n'est pas seulement plus rigoureuse : elle permet de mieux comprendre l'origine du phénomène en question. 

Les mathématiques sont le langage de la physique, et il est absurde de reprocher aux anciens manuels de s'en servir. En physique il est rare que l'on puisse comprendre précisément de quoi on parle sans une équation. Et comme on l'a vu, ces équations étaient jadis accompagnées d'un vrai raisonnement. 

A l'inverse les élèves actuels sont encouragés à appliquer aveuglément les équations présentes dans leur calculatrice. Ce sont donc eux, et à travers eux les concepteurs des programmes actuels, qui abusent des mathématiques. » [3]

 Pour rajouter : 

« D'ailleurs il n'y a guère que de mauvais élèves pour concevoir les mathématiques comme un ensemble de formules alignées sans justification, ce que certains nomment le formulisme. » [3]

Je devine et je comprends le désarroi des enseignants de physique qui sont acculés à ne plus présenter leur discipline qu’avec des expérimentations du type La main à la pâte dans les écoles primaires [4], et je ne vois pas l’intérêt de sanctionner les nombreux élèves qui peuvent aller plus loin dans les matières scientifiques dès la classe de seconde, ceci parce que l’on a décidé que toute une classe d’âge devait obtenir une formation généraliste jusqu’au BAC. On oublie que le temps perdu ne se rattrape jamais.

Ecueil n°2 : une érosion du sens critique et un recours au magique – Toujours dans [3], notre collègue s’intéresse à un extrait du BAC 2006 en physique destiné aux élèves de spécialité, donc à ceux qui bénéficiaient d’un entraînement renforcé en physique. La question porte sur des instruments à corde : 

Question 1.3 – (…) Le son produit par la corde est étudié à l’aide d’un microphone branché à un oscilloscope numérique. L’oscillogramme correspondant est donné à la figure (…).

1.3.1. Exploiter cet oscillogramme pour déterminer la fréquence f₁ du mode fondamental.

1.3.2. A quelle qualité physiologique du son est associée cette fréquence ?

Voici la copie d’un élève :

Et voici l’analyse faite par notre collègue de terminale :

« Reconstruisons donc le processus mental de cet élève. Il a manifestement recherché désespérément dans sa calculatrice une formule faisant intervenir la seule donnée de l'énoncé : « L = 69,0 cm » (longueur d'une corde de violoncelle). Il tombe alors sur la formule :

qui relève en fait de l'électricité, mais son niveau ne lui permet même pas de la reconnaître. Or pour appliquer sa formule, il lui manque la valeur de la constante C : il en déduit qu'il s'agit probablement du nombre de Carreaux qu'il repère sur le graphique ! Cerise sur le gâteau, un élève de troisième pourrait débusquer l'absurdité du résultat souligné par le candidat, qui signifie que la corde de violoncelle prend plus de cinq secondes pour faire une unique oscillation. Bref, même en dépit du bon sens, l'élève ne doute pas un instant du résultat puisque encore une fois c'est la calculatrice qui le dit. 

Quant à la deuxième partie de sa réponse, je déclare forfait. La réponse attendue était « la hauteur du son ». Le lecteur qui parvient à me donner une explication rationnelle de l'association d'idées qui conduit l'élève à parler ici de lumière est prié... de m'éclairer. » [3]

Il ne suffit pas d’avoir téléchargé et recopié toute une panoplie de formules sur sa tablette informatique, reste encore à savoir laquelle utiliser…

Ecueil n°3 : une perte de sens et de précision – Si vous voulez coller un candidat qui passe l’oral du CAPES de mathématiques, posez-lui la question : qu’est-ce qu’un polynôme ? Dans la grande majorité des cas il sera incapable de proposer une définition précise, et quelques questions plus loin, le jury risque fort de s’apercevoir que sa conception d’un « polynôme » est surtout celle d’une « fonction polynomiale ». Ce qui n’est absolument pas la même chose. Une telle méprise, qui en dit long sur la confusion qui règne dans les définitions de base, peut être considérée comme éliminatoire dans un concours comme le CAPES.

Notre candidat au professorat dans le secondaire n’est pas entièrement fautif puisque l’étude des ensembles et des structures algébriques n’est plus une priorité dans le concours, et que les épreuves orales du CAPES se concentrent sur les enseignements donnés dans le secondaire et en BTS, où l’on admet beaucoup de choses. Dans ce contexte, devoir préciser quel est l’objet mathématique que l’on appelle « polynôme » devient étonnant et déstabilisant. Les titres des leçons d’oral du concours entérinent cette perte de précision : avant la session 2011, il existait une leçon intitulée Fonctions polynômes où l’on devait définir ces objets et en donner les propriétés générales, mais après la réforme du programme du CAPES, cette leçon a été remplacée par une autre intitulée Fonctions polynômes du second degré. On se borne maintenant à ne parler que de trinômes du second degré !

Cela n’empêchera pas le jury de demander toujours les définitions précises des objets que l’on utilise, pour savoir si le candidat en connaît plus sur la question que celui qui vient d’obtenir son BAC. Alors oui, il sera temps de dire dans quel espace on évolue : il faudra dire qu’un polynôme à coefficients réels est une suite de réels nulle à partir d’un certain rang, il s’agira d’expliquer comment on définit une addition, une multiplication interne et une multiplication externe dans cet espace de polynômes, dire que l’on obtient un ensemble structuré en anneau et en espace vectoriel, avec des lois multiplicatives « compatibles », ce qui en fait une algèbre. Il faudra aussi être capable d’expliquer ce que signifie l’écriture polynomiale usuelle où l’on voit une indéterminée X. Quelle est sa signification ? Que représente-t-elle ?

Ensuite il faudra expliquer la différence entre un polynôme P(X) et une fonction polynomiale. Il faudra dire que cette dernière n’est que la fonction qui à tout réel x associe le réel P(x) obtenu en substituant x à l’indéterminée X. A la question de savoir si l’espace des polynômes est identique à celui des fonctions polynomiales, il faudra répondre affirmativement quand le corps des scalaires est réel, mais dire que le résultat devient faux en général, et connaître le contre-exemple qui nous vient du petit théorème de Fermat : si p est un nombre premier, le polynôme :

à coefficients dans Z/pZ n’est pas nul alors que sa fonction polynomiale associée est la fonction nulle. Un phénomène poignant qui jouera un rôle important dans de grands domaines des mathématiques (théorie des nombres, cryptographie, codage des informations numériques…).

Y-a-t-il un moyen de comprendre ce que je viens d’écrire en utilisant des tableurs, des grapheurs ou d’autres logiciels sur d’autres machines ?

N’enterrons pas trop vite la « pensée humaine ». Il existe des concepts à préciser et des raisonnements à formuler qui ne nécessitent pas l’emploi de machines. Employons celles-ci pour nous simplifier la vie, pas pour la compliquer.

Quant à ne pas réserver de temps suffisant à l’apprentissage des fondamentaux en lycée pour ceux qui s’engageront dans des métiers scientifiques, je me contenterai de donner un extrait d’un commentaire d’Alain Colignon (chirurgien vasculaire) à l’un de mes articles sur Agoravox :

« Le troisième millénaire a peur de former des hommes capables de raisonner. J’ai eu l’occasion d’interroger un jeune très brillant qui a obtenu son bac en Belgique avec grande distinction. Alors qu’il était capable de dériver les fonctions les plus abracadabrantes, j’ai observé qu’il n’avait pas compris que la dérivée exprimait en tout point d’une fonction le coefficient directeur de la tangente géométrique en ce point. Ainsi, lui qui calculait très brillamment tout ce qu’on voulait, n’a pas été capable de me donner l’équation de la tangente à la parabole x² au point (1,1) ! 

De même, lui qui résolvait sans peine des intégrales complexes n’était pas capable de me dire que tout triangle construit sur le diamètre d’un cercle et un point quelconque du cercle était rectangle. Quant à le démontrer ! 

Je donne un cours de physique des lasers à des BAC+13. Ils sont médecins, dermatos, chirurgiens, angiologues. Chaque année je fais un test d’introduction. Très modestement, je pose les questions suivantes :

a) Valeur de sin 30° ?

b) Que dire de a-1/1-a ?

c) Dérivée de x² ?

d) Logarithme en base 10 de 1000 ?

e) Valeur décimale du binaire 101 ?

J’ai obtenu l’an passé une moyenne de 0,45/5 pour une classe de 43 élèves. Il y avait une multitude de zéros, quelques 1. Seules deux filles avaient la moyenne soit 3/5 ! Pas un seul 5/5. Et ce sont des médecins qui vont diriger vos lasers ! Ne parlons pas de la différence entre kW et kWh ! » [5]