L’univers est-il mathématique ? Et de quelles mathématiques s’agit-il ?

Ainsi, à toutes ces structures, connues ou inconnues de nous, pourraient être associés (Tegman n'emploie pas le conditionnel) des univers différents. Différentes structures mathématiques devraient exister simultanément, sous la forme des univers parallèles ou du multivers. Beaucoup de cosmologistes font aujourd'hui l'hypothèse, sans pouvoir aujourd'hui la prouver, que ces univers parallèles existent au même titre que notre univers, correspondant lui-même à nos mathématiques – ou à une partie de nos mathématiques.

Il est possible de retenir cette approche afin d'expliquer le fait que deux structures mathématiques différentes, bien connues et pratiquées aujourd'hui, soient utilisées pour décrire le monde ou plutôt deux mondes tels que nous les percevons. Les structures mathématiques classiques, ou disons plus simplifier newtoniennes, s'appliquent correctement au monde de la physique et de la cosmologie dites macroscopiques. Les structures des mathématiques quantiques, longtemps ignorées par l'humanité mais se découvrant progressivement, permettent de comprendre les caractéristiques moins bien connues mais aujourd'hui indiscutables du monde quantique tel que nous l'observons : la superposition d'état, la non-localité, la non temporalité, etc. Cette approche radicalement différente ne surprend plus aujourd'hui personne, dans la mesure où il semble admis que le monde macroscopique n'est qu'une forme parmi les nombreuses autres formes que peut prendre le monde quantique, qui serait le monde fondamental à l'origine de tout. De la même façon, les mathématiques newtonienne ne seraient qu'une des formes susceptibles d'être prise par des structures mathématiques plus générales bien représentées par les mathématiques quantiques.

Mais est-ce bien le cas ? Il est possible d'admettre au contraire qu'il y aurait déjà deux univers coexistant en parallèle, celui du monde macroscopique et celui du monde quantique, correspondant à deux mathématiques coexistant elles-mêmes en parallèle, les mathématiques newtoniennes et les mathématiques quantiques. Ces univers, d'une part, ces mathématiques d'autre part, semblent présenter un certain nombre d'analogies permettant à la science moderne d'établir des ponts entre elles. Mais selon certains théoriciens, ces analogies ne seraient qu'une approximation, cachant le fait qu'elles proviennent de deux univers parallèles. Plutôt que chercher à réduire les différences entre ces deux univers, afin de satisfaire le mythe selon lequel l'univers est un, ne faudrait-il pas au contraire approfondir leurs différences, afin, non de démontrer déjà la réalité du multivers, mais de démontrer dans un premier temps la réalité de deux univers parallèles. Ce faisant, notre cerveau biologique, dont la plasticité est grande, pourrait peut-être s'habituer à rechercher dans la réalité profondes des superpositions analogues entre structures mathématiques différentes

La racine carrée de - 1

On dira que ce qui précède relève de supputations. Or les travaux récents du physicien théoricien Bill Wootters (photo) du Williams College à Williamstown, Massachusetts 1), pourraient justifier non seulement l'intérêt mais la nécessité d'une telle approche. On lira à ce sujet un article fort éclairant de Matthew Chalmers dans le Newscientist du 23 janvier 2014 dont nous nous sommes en partie inspirés From i to u : Searching for the quantum master bit. Wooters n'envisage pas comme Tegman l'ensemble des mathématiques correspondant à un éventuel multivers. Il se limite, mais c'est déjà beaucoup, à celles reposant sur un concept mathématique n'ayant pas de correspondance dans la réalité « newtonienne » évoquée plus haut, celle de la racine carrée 2) de - 1 (moins un). 3)

Dans les mathématiques ordinaires, celles qui sont nécessaires au traitement des objets sensibles, - 1 n'a pas de racine carré, puisque toute multiplication de - 1 par - 1 donne 1. Cependant les physiciens utilisent constamment la racine carrée de - 1, représentée par le symbole i. Ceci en algèbre, mais aussi aussi en géométrie dans certaines formes de trigonométrie, ou en physique pour décrire les rotations et les oscillations. Les électriciens l'emploient pour concevoir des courants alternatifs ou décrire les ondes lumineuses ou sonores. Il est donc possible de supposer que i corresponde en quelque sorte à une réalité profonde de l'univers.

Bien que ne s'agissant pas d'un nombre ordinaire permettant de traiter les objets sensibles, i est l'un des fondement de la physique, tant macroscopique, comme nous venons de le voir, que quantique. Que serait alors son statut ? S'agirait-il d'une commodité mathématique, ne correspondant à rien de précis dans l'univers ? Ne se rattacherait-il pas au contraire à un univers différent du nôtre, faisant la liaison ou se superposant entre deux mondes, le monde macroscopique et le monde quantique ? Bill Wooters formule cette dernière hypothèse. Selon lui, i, la racine carrée de - 1, renverrait à une entité non encore décrite, un « bit » d'information universel qui interagirait avec tout ce qui existe dans la réalité, lui conférant selon les cas un comportement quantique ou non.. Il l'a nommé u.bit, par extension du concept de q.bit lequel correspond à un élément d'information quantique.

Pour le montrer, Wooters insiste sur le fait que le u.bit ne serait pas seulement un outil commode pour décrire comme nous l'avons vu certains aspects de l'univers macroscopique. Il serait un outil fondamental pour la description de l'univers quantique, . En physique quantique en effet, il est admis depuis maintenant un siècle que les particules microscopiques, électrons ou photons par exemple, sont à la fois des ondes et des corpuscules. Elles ne peuvent donc pas être simulées par les mathématiques que nous avons appelées newtoniennes, leur assignant avec précision des positions et des impulsions. Il faut faire appel à la fonction d'onde. Celle-ci décrit , à partir d'une série de nombres « complexes » 3), tous les états possibles d'une particule isolée. Mais alors que les mathématiques classiques permettent facilement de décrire une onde, elles ne disposent pas des outils permettant de décrire l'interaction entre une onde et une particule.

Ceci étant, il est admis depuis les débuts de la mécanique quantique que la fonction d'onde ne peut décrire exactement la réalité correspondant à une particule isolée. Celle-ci n'apparait que lorsque la fonction d'onde est « réduite », par exemple du fait de l'intervention d'un observateur, mais dans ce cas, la description est tronquée, faisant apparaître soit la position soit l'impulsion de cette particule, mais non les deux simultanément. Or, mathématiquement, pour Wooters, l'opération consistant à comparer une prédiction quantique prenant la forme d'une fonction d'onde avec la réalité correspond à une opération analogue, celle consistant à réaliser la multiplication de la fonction d'onde par elle-même, c'est-à-dire réaliser sa mise au carré. Ceci fait disparaitre tous les i et fournit une probabilité exprimée par un nombre réel.

S'il existe dans un cas particulier plusieurs façon d'obtenir une probabilité pour une position donnée de la particule, il faut pour les obtenir ajouter tous les nombres complexes représentant ces différentes façons et en faire le carré. Ce n'est pas ce qui se pratique dans le monde réel, avait depuis longtemps observé Wooters. Dans ce monde, la probabilité d'obtenir un 10 à partir d'un jet de deux dés est de 3/36, puisqu'il y a 3 façons d'obtenir un 10 à partir de 36 résultats possibles. On ajoute les probabilités, au lieu de les ajouter et ensuite d'en prendre le carré.

L'intervention de nombres complexes accroit la difficulté. Les nombres complexes (3) comportent des parties réelles et d'autres imaginaires, alors que les probabilités intéressant la réalité observable sont seulement réelles. Ceci implique, précise Wooters, qu'une partie de l'information mémorisée par les nombres complexes se perd lorsque l'on en fait le carré. Autrement dit, un certain lien entre le passé et le future disparaît. Il n'est plus possible de prédire le futur d'un objet, à partir d'informations exactes sur son passé, comme on peut le faire dans le monde réel. Remplacer les racines carrés « complexes » par des racines carrés « réelles » pourrait éviter cette perte troublante d'information. Les racines carrés « réelles » deviendraient des objets compréhensibles et non extraordinaires, la nature démontrant alors son intérêt pour l'établissement d'un lien fort entre le passé et le futur.
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Des bases matérielles macroscopiques pour la mécanique quantique

Dans la recherche, qui n'a jamais cessé, des bases matérielles macroscopiques hypothétiques de la mécanique quantique, le physicien suisse Ernst Stueckelberg avait proposé vers 1960 de reformuler cette dernière en n'utilisant que des nombres réels. Mais quant il avait voulu exprimer de cette façon le fondamental principe d'incertitude, il s'était aperçu qu'il ne pouvait définir avec suffisamment de précision la position d'une particule associée à son impulsion.

Pendant plusieurs années, Wootters avait abandonné l'approfondissement de cette question pour d'autres questions importantes intéressant notamment la théorie quantique de l'information. Puis il l'a reprise en 2009 à l'occasion d'un séminaire donné à Vienne et concernant ses travaux sur cette dernière (4). Que pouvait être le rôle de i, c'est-à-dire rappelons-le, de la racine carré de -1, dans les développements de la théorie quantique de l'information ? En 2012 5), avec ses étudiants, il a proposé de remplacer les traditionnels q.bits utilisés par la théorie quantique classique de l'information pour obtenir des versions probabilistes du simple bit traité depuis par des décennies par les ordinateurs ordinaires. Pour ce faire, il a proposer de remplacer les q.bits par des nombres réels équivalents, en retrouvant les relations d'incertitudes de la mécanique quantique classique, mais ceci sans faire appel à i.

Mais ce faisant,Wootters s'est posé un problème d'ampleur, quasiment philosophique. Existait-il dans la réalité une entité physique réelle correspondant au rôle joué par i dans ses équations. Il a répondu par l'affirmative et nommé cette entité U.bit. Il s'agirait alors d'une sorte de nouvelle entité indéfinissable dans les termes de la physique, qu'elle soit macroscopique ou quantique, et interagissant avec tout ce qui existe dans l'univers. Mathématiquement, ce serait un vecteur dans un espace réel à 2 dimensions. Physiquement, en s'intriquant avec tout ce qui existe dans l'univers, cette entité pourrait remplacer chacun des nombres complexes de la théorie quantique. De plus, selon la description mathématique qu'en donne Wooters, elle devrait, quelque soit sa nature réelle, être affectée d'une rotation rapide.

Cette sorte de « monstre » pourrait avoir divers effets inattendus, traduisant son existence d'une façon indirecte. Dont celle de provoquer la décohérence d'une particule quantique isolée. Dans ce cas, il faudrait dire adieu aux perspectives proposées par les développeurs d'ordinateurs quantiques, reposant sur la mise en oeuvre de centaines voire de milliers de q.bits. Mais pourquoi, dira-t-on, ne rencontre-t-on pas déjà cette difficulté dans les calculateurs quantiques existants ? Ce pourrait être le cas précisément, mais d'une façon cryptée. Si l'u.bit n'exerçait qu'une action très faible, celle-ci serait longue à se manifester dans nos échelles de temps.

Beaucoup de physiciens restent sceptiques. De toutes façons, disent-ils, pour se convaincre de la réalité d'une forme nouvelle telle que l' u.bit associant l'univers macroscopique avec l'univers quantique, il faudrait l'observer, directement ou indirectement, comme ce fut fait du boson de Higgs grâce au LHC.

La trace d'univers parallèles

Quoiqu'il en soit, si nous nous éloignons des points de vue que peut avoir Wooters et ceux qui le suivent sur cette question, nous voudrions faire pour notre compte quelques réflexions. On pourrait voir dans les recherches de Wooters une sorte de réactivation de l'hypothèse des variables cachées, Celle-ci est supposées permettre d'expliquer les phénomènes les plus étranges de la physique quantique, tels précisément l'intrication, en termes relevant de la physique macroscopique, à supposer que des variables correspondantes soient mises en évidence. Un certain nombre de physiciens n'ont pas renoncé à les identifier.

On pourrait également proposer que l'u.bit soit la manifestation physique d'un univers mathématique associant les propriétés du nôtre et celles du monde quantique. Et qu'en serait-il alors des autres nombres incalculables, tel que l'infini ? En ce cas, si notre univers était fondamentalement mathématique et s'il existait plusieurs univers parallèles également mathématiques, on pourrait supposer que ces univers, au lieu de rester étrangers les uns aux autres, puissent générer des entités mathématiques communes inattendues (monstrueuses) pouvant prendre des formes matérielles, c'est-dire éventuellement observables mais non calculables, dans chacun de ces univers.

D'ores et déjà les nombres complexes servent à expliquer les transitions entre divers états de la matière au sein de notre univers physique. Pourquoi ne joueraient-ils pas - que ce soit eux ou de nouvelles structures mathématiques comparables - le même rôle entre notre univers et d'autres univers dont les structures mathématiques seraient à découvrir. Si de telles mathématiques encore inconnues pouvaient générer des transitions matérielles communes à eux et à notre univers, nous pourrions avec un peu d'attention les mettre en évidence. D'ores et déjà, elles existeraient peut-être « sous notre nez », si l'on peut dire, comme existe la racine carré de – 1. Mais nous ne les aurions pas encore découvertes, ou bien nous ne soupçonnerions pas leur universalité ubiquitaire au sein d'un éventuel multivers. Nous les rangerions parmi les fantaisies, sinon les fantasmes, de mathématiciens théoriciens à l'imagination débordante.

Un problème à traiter, dans la suite de ces considérations, serait celui de la nature du cerveau, notamment du cerveau humain, et notamment de celui desdits mathématiciens. L'évolution n'en a-t-elle fait qu'un instrument inutilement complexe servant initialement à découvrir des prédateurs dans la brousse africaine ? Pourquoi dans ce cas seraient-ils capables de concevoir des structures mathématiques, soit réelles, soit imaginaires, ressenties comme platoniciennes, et correspondant à des univers eux-mêmes soit réels soit imaginaires ? Existerait-il, comme le soupçonne Roger Penrose et de plus en plus avec lui d'autres théoriciens de la biologie quantique, des connexions qui se découvriraient progressivement entre nos cerveaux (Penrose préfère utiliser le terme de conscience) et l' « ultime nature de la réalité » qui, selon les termes de Max Tegmann évoqués en introduction, serait mathématique. Dans ce cas, la question que nous posions en titre « L'univers est-il mathématique ? Et de quelles mathématiques s'agit-il  ? » pourrait commencer à trouver des débuts de réponse.

Notes

1) William Wootters http://en.wikipedia.org/wiki/William_Wootters

2) Sur la racine carré en général, voir http://fr.wikipedia.org/wiki/Racine_carr%C3%A9e
La racine carrée d’un nombre réel positif x est le nombre positif qui, lorsqu'il est multiplié par lui-même, donne x, c'est-à-dire le nombre positif dont le carré vaut x. Un nombre réel est un nombre qui peut être représenté par une partie entière et une liste finie ou infinie de décimales. Cette définition s'applique donc aux nombres rationnels, dont les décimales se répètent de façon périodique à partir d'un certain rang, mais aussi à d'autres nombres dits irrationnels, tels la racine carrée de 2, p et e. Selon cette définition -1 n'étant pas un nombre positif n'a pas de racine carrée.

3) Sur la racine carrée de -1, voir un petit article de vulgarisation en français http://www.maths-et-tiques.fr/index.php/histoire-des-maths/nombres/le-nombre-i

4) Sur les nombres complexes voir http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_complexe

5) Voir ArXiv Real-Vector-Space Quantum Theory with a Universal Quantum Bit http://arxiv.org/abs/1210.4535

6) Voir ArXiv .Optimal Information Transfer and Real-Vector-Space Quantum Theory http://arxiv.org/abs/1301.2018